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1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座(14)抽屜原理一、一、知識(shí)要點(diǎn)1、1、抽屜原理1把n1個(gè)東西,任意地分放到n個(gè)抽屜里,那么必有一個(gè)抽屜里有2個(gè)東西。2、2、抽屜原理2把m個(gè)東西,任意地分放到n個(gè)抽屜里,那么必有一個(gè)抽屜里至少有k個(gè)東西。其中nmnmnmnmknmnmk表示,的倍數(shù)時(shí)不是當(dāng)或的倍數(shù)時(shí)是當(dāng)???????????????)(1)(的整數(shù)部分。3、3、上述二個(gè)原理統(tǒng)稱為抽屜原理。抽屜原理雖然簡(jiǎn)單、淺顯,卻是解決很多存在性問題的有力工具。利
2、用抽屜原理解題的一般步驟是:(1)(1)構(gòu)造抽屜,指出東西;(2)(2)將東西放入抽屜,或從抽屜里取出;(3)(3)說明理由,得出結(jié)論。二、二、例題精講例1用2種顏色涂3行9列共27個(gè)小方格,證明:不論如何涂色,其中必至少有兩列,它們的涂色方式相同.分析:把用兩種顏色涂13的小方格的方法當(dāng)作抽屜。解:用兩種顏色涂13的小方格共有8種方法現(xiàn)有9列,由抽屜原理,必有兩列涂法一樣評(píng)注:用抽屜原理解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造抽屜,另外還要搞清什么是抽屜?
3、什么是東西?例2已知一個(gè)圓。經(jīng)過圓心任意作993條直徑,它們與圓共有1986個(gè)交點(diǎn),在每個(gè)交點(diǎn)處分別填寫從1到496中的一個(gè)整數(shù)(可重復(fù)填寫)。證明:一定可以找到兩條直徑,它們兩端的數(shù)的和相等。(第二屆迎春杯決賽試題)分析:直徑兩端的數(shù)都在1到496之間,所以它們兩端的數(shù)的和在2到992之間,則可構(gòu)造991只抽屜,而東西有993個(gè),因而得到證明。證明:直徑兩端的數(shù)都在1到496之間,所以直徑兩端的數(shù)的和≥2,且≤992所以,這種和只有9
4、91種。而直徑有993條,993991,所以一定可以找到兩條直徑,它們兩端的數(shù)的和相等。評(píng)注:由解題過程知本題將“993條直徑”改為“992條直徑”結(jié)論仍然成立。如果將結(jié)論改為“可以找到兩條直徑,它們兩端的數(shù)的和相等”,那么條件“經(jīng)過圓心任意作993條直徑”就要改為“經(jīng)過圓心任意作1983條直徑”。例3夏令營(yíng)組織1987名營(yíng)員去游覽故宮、景山公園、北海公園,規(guī)定每人最少去一處,最多去兩處游覽,至少有幾個(gè)人游覽的地方完全相同?試證明你的結(jié)
5、論。(第二屆迎春杯決賽試題)第二十六個(gè)抽屜里放進(jìn)數(shù):51.…………第五十個(gè)抽屜里放進(jìn)數(shù):99.那么隨意取出51個(gè)數(shù)中,必有兩個(gè)數(shù)同屬一個(gè)抽屜,其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).評(píng)注:本題構(gòu)造的抽屜比較別致,它必須符合分析中的兩個(gè)條件。這種構(gòu)造抽屜的方法值得我們體會(huì)。例7在邊長(zhǎng)分別為2和4的矩形中任取9個(gè)點(diǎn)(任三點(diǎn)不共線),證明至少存在三點(diǎn),以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形的面積不大于1。分析:矩形中任一三角形的面積不超過該矩形面積的一半,而已知矩形面積為
6、8,故若將該矩形分為4個(gè)等積的小矩形,則小矩形的面積為2,其內(nèi)的任一三角形的面積不超過1,因而只須將已知矩形分為4個(gè)等積的小矩形,證明其中至少有一份含有9個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)即可。證明:將已知矩形分為4個(gè)全等的小矩形,則由抽屜原理,任取9個(gè)點(diǎn)中至少有3個(gè)點(diǎn)在一個(gè)小矩形中。由于這個(gè)小矩形的面積等于24)(241??,故以這3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積不超過該小矩形面積的一半1,問題得證。例8有一位國(guó)際象棋大師,用11周時(shí)間準(zhǔn)備一次錦標(biāo)賽。在準(zhǔn)備期間
7、,他決定每天至少參加一次比賽,但每周累計(jì)比賽不超過12次。證明:存在連續(xù)若干天,這位大師恰好共進(jìn)行了21次比賽。證明:設(shè)前A天這位大師累計(jì)比賽的次數(shù)為ai,11周共有77天,故1≤i≤77。由于每天至少參加一次比賽,但每周累計(jì)比賽不超過12次,故有1≤a1a2…a77≤11?12=132,于是,22≤a121a221…a7721≤13221=153則在1到153之間共有154個(gè)整數(shù):a1,a2,…,a77,a121,a221,…,a77
8、21由抽屜原理,其中至少有兩個(gè)數(shù)相等。由于a1,a2,…,a77不可能相等,a121,a221,…,a7721也不可能相等,所以只可能是某個(gè)ai與某個(gè)aj21(ji)相等,即aiaj=21。這說明這位大師第j1天,第j2天,…,第i天累計(jì)比賽21次。三、三、鞏固練習(xí)選擇題1、一副撲克有4種花色,每種花色有13張,從中任意抽牌,最少要抽()張才能保證有4張牌是同一花色。A、12B、13C、14D、152、有22只裝鋼筆的文具盒,如果不管如
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