初等數(shù)學(xué)研究(程曉亮、劉影)版課后習(xí)題答案

1、初等數(shù)學(xué)研究（程曉亮、劉影）版課后習(xí)題答案初等數(shù)學(xué)研究（程曉亮、劉影）版課后習(xí)題答案第一章第一章數(shù)1添加元素法和構(gòu)造法，自然數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)可以看成是在自然數(shù)的基礎(chǔ)上添加0到擴(kuò)大的自然數(shù)集，再添加負(fù)數(shù)到整數(shù)集；實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)可以看成是在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造虛數(shù)單位滿足，和有序?qū)崝?shù)對一起組成一個(gè)復(fù)數(shù)i12??i)(ba.bia?2（略）3從數(shù)的起源至今，總共經(jīng)歷了五次擴(kuò)充：為了保證在自然數(shù)集中除法的封閉性，像的方程有解，這樣，正分bax?數(shù)就應(yīng)運(yùn)

2、而生了，這是數(shù)的概念的第一次擴(kuò)展，數(shù)就擴(kuò)展為正有理數(shù)集.公元六世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家開始用符號(hào)“0”表示零.這是數(shù)的概念的第二次擴(kuò)充，自然數(shù)、零和正分?jǐn)?shù)合在一起組成算術(shù)數(shù)集.為了表示具有相反意義的量，引入了負(fù)數(shù).并且直到17世紀(jì)才對負(fù)數(shù)有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，這是數(shù)的概念的第三次擴(kuò)充，此時(shí)，數(shù)的概念就擴(kuò)展為有理數(shù)集.直到19世紀(jì)下半葉，才由皮亞諾、戴德金、維爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家的努力下構(gòu)建了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論.這是數(shù)的概念的第四次擴(kuò)充，形成了實(shí)數(shù)集.虛數(shù)

3、作為一種合乎邏輯的假設(shè)得以引進(jìn)，并在進(jìn)一步的發(fā)展中加以運(yùn)用.這是數(shù)學(xué)概念的第五次擴(kuò)充，引進(jìn)虛數(shù)，形成復(fù)數(shù)集.4證明：設(shè)集合兩兩沒有公共元素分別是非空有限集DCBAdcba的基數(shù)，根據(jù)定義，若，則存在非空有限集，使得DCBAba?A；若從而必存在非空有限集，使得，所以BAA~?dc?CDCC~?所以集合的基數(shù)大于集合的基數(shù)，所)(CA?)(DB??CA?ca?DB?db?以.dbca???5（1）解：按照自然數(shù)序數(shù)理論加法定義，15555

4、55155155)25(2535?????????????????（2）解：按照自然數(shù)序數(shù)理論乘法定義87)6(])15[()15()25(2535????????????（3）（傳遞性）如果，那么.zyyx||zx|通常意義的小于等于也構(gòu)成半序關(guān)系，同理可證.10證明：設(shè)，且NM?①M(fèi)?1②若，則.Ma?Ma?若.NM?令是所有不屬于的自然數(shù)組成的集合，則是的非空子集，按照最小數(shù)AMAN原理，中有最小數(shù)，設(shè)為.由①知，于是存在自然數(shù)，

5、使，這Ab1?bcbc?樣就有，所以，但根據(jù)②有，這與矛盾.所以.bc?Mc?Mc?Mb?NM?11證明：（1）根據(jù)自然數(shù)減法定義有，，兩式相cdcdbaba??????)()(加得：，于是，cbabdcda???????)()()()()()(bacbdcda???????若，則dcba???cbda???若，則cbda???dcba???（2）)()()(dbdcba?????cadcdbab????????)()(（3）先證bca

6、ccba???)(事實(shí)上，由accbabcbabc??????)]([)(可知要證明的自然數(shù)乘法對減法的分配律成立.由此，為了證明（3），只要證明，)()()()(bcadbdacdcbdca???????根據(jù)（1）上式就是)()()()(bdacdcbbcaddca???????于是只要證明acbcbcac???顯然，這個(gè)等式是成立的，所以（3）成立.12證明：（1）根據(jù)自然數(shù)除法定義有，兩式相乘，得cdcdbaba????，所以有：