平面體的切割 1

1、第四章 體 的 表 面 交 線(xiàn)(平面體的切割),第二節(jié) 平面與回轉(zhuǎn)體相交,第三節(jié) 兩立體體表面相交,第一節(jié) 平面立體被截切,,,,,,第四章 體的表面交線(xiàn),截平面,概念： 截切——用一個(gè)與立體相交的平面， 截去立體的一部分。,,,,,,截?cái)嗝?截交線(xiàn),截平面——用以截切物體的平面。,截交線(xiàn)——截平面與物體表面的交線(xiàn)。,截?cái)嗝妗蚪仄矫娴慕厍校谖锷闲纬?的平面。,相貫線(xiàn)——兩

2、回轉(zhuǎn)體的相交叫相貫，其表面產(chǎn)生的交線(xiàn)叫相貫線(xiàn),截交線(xiàn)的性質(zhì)：截交線(xiàn)是一封閉的平面多邊形，它是截平面與立體表面的共有線(xiàn)。 實(shí)質(zhì)：求兩平面的交線(xiàn)。 求截交線(xiàn)的方法 ： 空間分析：截平面與體的相對(duì)位置，確定截交線(xiàn)的形狀； 截 平面與投影面的相對(duì)位置，確定截交線(xiàn) 的投影特性。 作圖方法：1）交點(diǎn)法：求出立體表面上已知直線(xiàn)與截平面的交點(diǎn)，連接交點(diǎn) 位所求。2）表面取點(diǎn)法：利用

3、立體表面在投影面上的投影右積聚性的特點(diǎn)求之。3）輔助線(xiàn)法：在立體表面上作輔助素線(xiàn)及輔助圓求之。4）輔助平面法：借助輔助平面與立體表面及截平面相交來(lái)求之。,§4--1 平面立體被截切,,,,,,例1：求作四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。,分析：截平面為正垂面截交線(xiàn)的正面投影積聚為直線(xiàn)。截平面與四條棱線(xiàn)相交，從正面可直接找出交點(diǎn)。,1',,1,,1",2',,2",2,(4&#

4、39;),4,3',,3,,3",作出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的投影，依次連接各點(diǎn)。,補(bǔ)全棱錐體的外形投影。,,,,,,,,4",?,?,,,,,,1、單一平面與平面立體截交,被截切后的投影圖：,,,,,,例2、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。,分析：由圖可知，截交線(xiàn)的正面投影積聚為一直線(xiàn)。水平投影，除頂面上的截交線(xiàn)外，其余各段截線(xiàn)都積聚在六邊形上。,,,,,,,,1',1,2' （3'）,

5、2,3,4' （5'）,4,5,,1",,2",3",,4",5",,6'（7'）,6,7,6",7",,,,,,完成后的投影圖,,,,,,例3、如下圖所示，作四棱柱被截切后的投影。,,,,a',(b'),,,,,,b,a,,a",b",,,,,,,分析：四棱柱的上部被一個(gè)正垂面和一個(gè)側(cè)平面所截切，因

6、四棱柱的四個(gè)棱面均垂直于水平面，截平面與棱線(xiàn)的交點(diǎn)均在棱面的投影上。此題還應(yīng)作出兩截平面的交線(xiàn)AB的投影。,?,?,,,,,B,A,,2、多個(gè)平面與平面立體截交,完成后的投影圖,,,,,,截交線(xiàn)的性質(zhì)： 截交線(xiàn)是截平面和回轉(zhuǎn)體表面的共有線(xiàn)，截交線(xiàn)上任意點(diǎn)都是它們的共有點(diǎn)。 截交線(xiàn)是封閉的平面曲線(xiàn)或曲線(xiàn)與平面組成的平面圖形。 截交線(xiàn)的形狀，取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截平面對(duì)回轉(zhuǎn)體軸線(xiàn)的相對(duì)位置。求截交線(xiàn)的方法和步驟： 分析回轉(zhuǎn)體的

7、表面性質(zhì)，截平面與投影面的相對(duì)位置，截平面與回轉(zhuǎn)體的相對(duì)位置，初步判斷截交線(xiàn)的形狀及其投影。 求出截交線(xiàn)上的點(diǎn)，首先找特殊點(diǎn)再補(bǔ)充中間點(diǎn)。 補(bǔ)全輪廓線(xiàn)，光滑地連接各點(diǎn)，得截交線(xiàn)的投影。,§4--2 平面與回轉(zhuǎn)體相交,,,,,,一、平面與圓柱體相交 截平面與圓柱面截交線(xiàn)的形狀取決于截平面與圓柱軸線(xiàn)的相對(duì)位置。,截平面與圓柱軸線(xiàn)平行截交線(xiàn)為矩形,,,,,,截平面與圓柱軸線(xiàn)傾斜截交線(xiàn)為橢圓,截平面與圓柱

8、軸線(xiàn)垂直截交線(xiàn)為圓,,,,,,例1、求斜切圓柱體的投影，已知正面和水平面 的投影，完成側(cè)面投影。,,,,,1' ?,2' ?,,1?,,? 2,,? 1",,2" ?,,3'(4') ?,4?,? 3,,4"?,?3",,a ?,a'(b') ?,b?,,? a",b"?,,c'(d&#

9、39;)?,,? c,?d,? c",d"?,,,,,,,作圖過(guò)程： 求特殊點(diǎn) 即找最高、最低、最左、最右、最前、最后點(diǎn)可確定出橢圓長(zhǎng)短軸的端點(diǎn)。 求一般點(diǎn) 從正面投影上選取A、B、C、D四點(diǎn)分別求出水平面和側(cè)面投影。 光滑地連接各點(diǎn)。,,,,,,例2、已知圓柱截?cái)囿w的正面和側(cè)面投影，求水平投影。,分析：圓柱的軸線(xiàn)是側(cè)垂線(xiàn)，截?cái)囿w分別由側(cè)平面、正垂面、水平面截切圓柱體而成的。側(cè)平面與圓柱軸

10、線(xiàn)垂直，截交線(xiàn)為圓弧，其正面投影為直線(xiàn)，側(cè)面投影為圓弧。 正垂面與圓柱軸線(xiàn)傾斜，截交線(xiàn)為部分橢圓，正面投影為直線(xiàn)，側(cè)面投影與圓重合。 水平面與圓柱軸線(xiàn)平行截交線(xiàn)為矩形，正面、側(cè)面投影均直線(xiàn)。,,1' ·,? 1,? 2",? 2,(3') ? 2',? 3,3" ?,,4 ' ? (5'),,?4,? 4",5&quo

11、t; ?,5?,6'(7 ')?,,7",6",6 ?,7 ?,,8' ? (9 '),,? 8",9" ?,?8,9 ?,,,,,,a' ? (b '),? a",b" ?,? a,b ?,,,,,,,,,1" ·,c,d,c"

12、;,d",( ),( ),完成后的投影圖,,,,,,例3、求如圖所示的開(kāi)槽圓柱的左視圖。,,,,,,分析：槽是由三個(gè)截平面形成的，左右對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)截平面是平行于圓柱軸線(xiàn)的側(cè)平面，它們與圓柱面的截交線(xiàn)均為兩條直素線(xiàn)，與上底面的截交線(xiàn)為正垂線(xiàn)。另一個(gè)截平面是垂直于圓柱軸線(xiàn)的水平面，它與圓柱面的截交線(xiàn)為兩段圓弧。三個(gè)截平面間產(chǎn)生了兩條交線(xiàn)，均為正垂線(xiàn)。,,1'（2'） ?,,? 1",2&quo

13、t; ?,? 1,?,2,? 3'（4'）,,? 3,? 4,? 3",? 4",5'（6'） ?,5,6,,,5" ?,6" ?,,,,,,,,,,,,,,,,,完成后的投影圖,,,,,,二、平面與圓錐體相交截平面與錐體的截切位置和軸線(xiàn)傾角不同，截交線(xiàn)的形狀不同。,截平面垂直于圓錐軸線(xiàn)，傾角為θ=90ο，截交線(xiàn)為圓形。,截平面與圓錐軸線(xiàn)

14、傾斜，傾角θ>α截交線(xiàn)為橢圓。,,,,,,,,截平面與圓錐軸線(xiàn) 傾斜面，傾角θ=α 截交線(xiàn)為拋物線(xiàn)。,截平面與圓錐軸線(xiàn)平行或傾角θ<α，截交線(xiàn)為雙曲線(xiàn)。,截平面過(guò)錐頂截交線(xiàn)為三角形。,,,,,,,,,例1、已知圓錐體的正面投影和部分水平面投影，求斜切圓錐體的水平投影和側(cè)面投影。,,圓錐體的軸線(xiàn)為鉛垂線(xiàn)，截平面與圓錐軸線(xiàn)的傾角大于圓錐母線(xiàn)與軸線(xiàn)的夾角，截交線(xiàn)為橢圓。截平面是正垂面，截交線(xiàn)的正面投影為直線(xiàn)。,,

15、,,,? a,a' ?,? b',?b,? a",b" ?,,,c'(d ')?,? c",? c,d ?,,,,,,? k,l ?,?k",?k'l',,,,?,?,,,,,d" ?,l" ?,?,?,,,,,,作圖：1、求特殊點(diǎn) 最高點(diǎn)B最低點(diǎn)A；圓錐體的前后素線(xiàn)與截交線(xiàn)的正面投影的交點(diǎn)c

16、'd'重影為一點(diǎn)，其余兩面投影根據(jù)投影關(guān)系求出；截交線(xiàn)的最前點(diǎn)K和最后點(diǎn)L，正面投影重影于a'b'的中點(diǎn)。2、求一般點(diǎn)。3、光滑連接各點(diǎn)的同面投影。,完成后的三視圖,,,,,,例2、已知頂尖被截切后的正面和側(cè)面投影，求作水平投影。,分析：頂尖頭是由相連的圓錐體和圓柱體被兩個(gè)平面截切而成，軸線(xiàn)為側(cè)垂線(xiàn)，截平面 分別為側(cè)平面和水平面。 側(cè)平面與圓柱軸線(xiàn)垂直，與圓柱的截

17、交線(xiàn)為圓弧，正面投影為直線(xiàn)，側(cè)面投影為圓弧的實(shí)形。 水平面與圓柱的截交線(xiàn)為開(kāi)口矩形，與圓角度的截交線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，其正面和側(cè)面投影均為直線(xiàn) 。,a' ?,?b' (c'),,?a,a"?,? b",c"?,?b,? C,d'e'?,,d",e",e?,?d,f '?,,?f ",?f,

18、,g'h' ?,,,?g",?h",?g,h?,,,,,,,,,,,,,,三、平面與球體相交 球被平面截切，截交線(xiàn)均為圓。由于截平面位置不同，截交線(xiàn)的投影可能是圓、直線(xiàn)或橢圓。,,,,,,1、截平面為平行面,截平面為正平面，正面投影為截交線(xiàn)圓的實(shí)形。,截平面為水平面，水平投影為截交線(xiàn)圓的實(shí)形。,截平面為正垂面，截交線(xiàn)的水平投影及側(cè)面為橢圓。,,,,,,,,3、截平面為垂直面,2、截平

19、面為水平面,例1：已知圓球體被截切后的正面投影求作水平投影。,a',b',,? b,a ?,e' (f ') ?,,?e,f?,,c'(d') ?,,,,,,,,,,?c,d ?,,g'(h' ) ?,,,,?g,h?,,,分析：截平面為正垂面，截交線(xiàn)的正面投影為直線(xiàn)，水平投影為橢圓。,作圖：1、求特殊點(diǎn) 截交線(xiàn)的最低點(diǎn)A和最高點(diǎn)B是水平投影的最右點(diǎn)和最

20、左點(diǎn)，也是截交線(xiàn)水平投影橢圓短軸的交點(diǎn)，水平投影a、b在其正面投影輪廓線(xiàn)的水平投影上。 a' b'的中點(diǎn)c' d'是截交線(xiàn)水平投影橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)的正面投影，其水平投影cd投影在輔助緯圓上。 e' f'是截交線(xiàn)與球的水平投影輪廓線(xiàn)的正面投影的交點(diǎn)，其水平投影ef在球的水平投影輪廓線(xiàn)上。2、求一般點(diǎn) 選擇適當(dāng)位置作輔助水平面，與ab的交點(diǎn)g、h為截交線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)的正面投影，其水平投影g、h

21、投影在輔助緯圓上。,,,,,,例2、已知帶通槽半球的正面投影，完成水平和側(cè)面投影。,分析：半球的通槽由三個(gè)平面構(gòu)成，一個(gè)水平面和兩個(gè)側(cè)平面截切圓球它們與球面的截交線(xiàn)都是分別平行于投影面的圓弧。關(guān)鍵是確定截交圓弧的半徑；可根據(jù)截平面位置確定。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1、通槽的水平投影作圖：過(guò)槽底部作輔助水平面，水平投影為圓，并在圓周上截取與正面投影相對(duì)應(yīng)的前后兩段圓弧。,2、通槽側(cè)面投影的作圖：兩側(cè)平面距球心等遠(yuǎn)，兩

22、圓弧的半徑相等，兩段圓弧的側(cè)面投影重合。,,,,,,§4--3 兩立體表面相交,概 念兩立體的相交叫相貫，其表面產(chǎn)生的交線(xiàn)叫相貫線(xiàn)?！?相貫線(xiàn)性質(zhì)： 表面性——相貫線(xiàn)位于兩立體的表面上。 封閉性——相貫線(xiàn)一般是封閉的空間曲線(xiàn)。 共有性——相貫線(xiàn)是兩立體表面的共有線(xiàn)?！?作圖實(shí)質(zhì)：找兩立體表面的若干共有點(diǎn)的投影?！?作圖方法： 交點(diǎn)法、表面取點(diǎn)法、

23、輔助線(xiàn)法、輔助平面法。,,,,,,輔助平面法：根據(jù)三面共點(diǎn)原理，利用輔助 平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的共有點(diǎn)?！?作圖步驟： ? 分析兩立體表面性質(zhì)，即兩立體的相對(duì)位置和相交情況。 ? 求相貫線(xiàn)上的特殊點(diǎn)。 ? 求相貫線(xiàn)上的一般點(diǎn)。假想用輔助平面截切兩立體，分別得出兩立體表面的截交線(xiàn)，截交線(xiàn)的交點(diǎn)是相貫線(xiàn)上的點(diǎn)。 ★ 選擇輔助平面的原則： 使輔助平面

24、與兩立體表面的截交線(xiàn)的投影是最簡(jiǎn)單形狀（直線(xiàn)或圓）。一般選投影面平行面。,,,,,,一、平面立體與平面立體相交 兩平面立體的相貫線(xiàn)在一般情況下是一條封閉的折線(xiàn),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,由于兩立體的相對(duì)位置不同，相交折線(xiàn)可能由一個(gè)或幾個(gè)部分的交線(xiàn)組成。折線(xiàn)的各個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)平面立體的棱與另一個(gè)平面立體的交點(diǎn)，折線(xiàn)的各段是兩平面立體各側(cè)面的交線(xiàn)。,a`(e`),b`(f`),d`(g`),c`,a(c`),b,

25、f,e,g,d,,a``,e``,c``,f``(g``),b``(d``),二、平面立體與曲面立體相交 平面立體與曲面立體的相貫線(xiàn)，一般是由若干段平面曲線(xiàn)或直線(xiàn)所組成的空間封閉曲線(xiàn)。,,,,,,,,,,,,,,,相貫線(xiàn)投影,三、曲面立體與曲面立體相交 兩曲面立體相貫，其相貫線(xiàn)一般為光滑的封閉空間曲線(xiàn)。相貫線(xiàn)上的點(diǎn)，是兩曲面立體表面上的共有點(diǎn)。1、兩圓柱相交 相交兩回轉(zhuǎn)體的相互

26、位置不同可分為正交、偏交、斜交。,分析：兩圓柱體軸線(xiàn)垂直相交，其軸線(xiàn)分別為鉛垂線(xiàn)和側(cè)垂線(xiàn)，因此小圓柱的水平投影和大圓柱的側(cè)面投影都具有積聚性。相貫線(xiàn)的水平投影積矛在圓周上，側(cè)面投影積聚于圓周的一部分。,作圖：求特殊點(diǎn)：a'、b'就是兩圓柱表面共有點(diǎn)的正面投影，也是相貫線(xiàn)的最高點(diǎn)、最左點(diǎn)、最右點(diǎn)。從側(cè)面投影輪廓線(xiàn)的交點(diǎn)求得相貫線(xiàn)最前點(diǎn)、最后點(diǎn)的側(cè)面投影c"、d"，由從屬關(guān)系求出其余兩面投影。求一般點(diǎn)：

27、作輔助正平面，與兩圓柱的交線(xiàn)均為矩形，其側(cè)面投影1、2和水平面投影1、2分別在圓周與平面投影的交點(diǎn)上。,a' ?,b'?,,a" b "?,,,a ?,b?,? c",d"?,,?c' (d'),,?c,d?,,1?,?2,1" (2 ")?,,,,?1',?2',,,,,,,,例1、如圖示，求兩圓

28、柱正交的相貫線(xiàn)。,完成后的投影圖,,,,,,例2、已知一圓柱體上有一圓柱孔，如圖所示，求相貫線(xiàn)。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a' ?,b' ?,,a ?,,?b,,a" (b") ?,,? c",d" ?,?c' (d'),,?c,d?,,1?,? 2,,1"(2")?,,,,?1',?2',,,,,,

29、,,完成后的相貫線(xiàn)投影圖,,,,,,2、圓柱與圓錐相交 例：求圓柱和圓錐相貫線(xiàn)的正面和側(cè)面投影。,分析：圓柱與圓錐的軸線(xiàn)相互垂直，圓柱的軸線(xiàn)是側(cè)垂線(xiàn)，圓錐的軸線(xiàn)是鉛垂線(xiàn)。相貫線(xiàn)的側(cè)面投影積聚在圓柱側(cè)面投影的圓周上。用輔助平面法作圖。,作圖：求特殊點(diǎn) A、B是最高點(diǎn)和最低點(diǎn)；過(guò)圓柱的最前、最后轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)作輔助水平面，可求得相貫線(xiàn)最前、最后點(diǎn)的投影。,a' ?,?b',,a" ?,,?

30、a,,?b",,b ?,,,,,d ?,?c,c'd' ?,?c",d" ?,求一般點(diǎn) 作輔助水平面。,,,,,?1,2 ?,?1",2" ?,,1'2' ?,,,,,,,?3",4" ?,?3,? 4,,?3'4',,,連相貫線(xiàn)，判別可見(jiàn)性。,,,,,,完成后的相貫線(xiàn)三視圖,,,,,,?3",

31、4"?,3、圓柱與球相交例：求圓柱與球偏交相貫線(xiàn)的正面和側(cè)面投影。,分析：圓柱軸線(xiàn)不能過(guò)球心，因此圓柱與球是偏交。圓柱的軸線(xiàn)是鉛垂線(xiàn)，則相貫線(xiàn)的水平投影必積聚在圓柱水平投影的圓周上。,求特殊點(diǎn) 由于圓柱和球下面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)在同一平面上，交點(diǎn)a'b'是最高和最低點(diǎn)的正面投影。作輔助側(cè)平面求出最前、最后點(diǎn)的投影。,a' ?,b'?,a ?,b?,?a",,,

32、?b",,,d ?,?c,,,,,d"?,,c'd' ?,求一般點(diǎn) 作輔助水平面，與圓柱交線(xiàn)的水平投影都積聚在圓柱水平投影的圓周上，與球交線(xiàn)的水平投影為不同直徑的圓，兩個(gè)圓的交點(diǎn)為相貫線(xiàn)上的一般點(diǎn)。,,,,,1?,2 ?,,? 1'2',,?1",2" ?,,,,,,?3,4 ?,? 3'4',,連相貫線(xiàn)判別可見(jiàn)性。

33、,,,,,?c",,,,,,,,完成后的相貫線(xiàn)投影圖,,,,,,4、相貫線(xiàn)的特殊情況1）、兩回轉(zhuǎn)體共軸線(xiàn)相交 兩回轉(zhuǎn)體有一個(gè)公共軸線(xiàn)相交時(shí)，它們的相貫線(xiàn)都是平面曲線(xiàn)——圓。,圓柱與圓錐共軸,,,,,,2）、兩圓柱體直徑相等且軸線(xiàn)相交,相貫線(xiàn)為兩個(gè)相同的橢圓，橢圓平面垂直于兩軸線(xiàn)所決定的平面。,,,,,,例：如圖示，兩軸相交的圓柱孔，作出其相貫線(xiàn)。,,,,,,,,,,,,小 結(jié),一、平面體的截交線(xiàn)一

34、般情況下是由直線(xiàn)組成的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與棱面的交線(xiàn)。,求截交線(xiàn)的方法：棱線(xiàn)法,二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線(xiàn)的形狀取決于截平面與被截立體軸線(xiàn)的相對(duì)位置。,截交線(xiàn)是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線(xiàn)。,三、解題方法與步驟,1、 空間及投影分析,2） 分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì)位置以確定截交線(xiàn)的投影特性。,1）分析截平面與被截立體的相對(duì)位置，以確定截交線(xiàn)的形狀。,,,,,,當(dāng)截交線(xiàn)的投影為非圓曲線(xiàn)時(shí)，要先找特殊點(diǎn),再補(bǔ)充中間