切割立方體

1、切割立方體及長(zhǎng)方體材料切割優(yōu)化問題摘要摘要本文闡述了將一個(gè)長(zhǎng)方體切割成單位立方體，在兩次切割之間可以任意重新堆置各切塊，最少切多少次可以完成的問題。在此基礎(chǔ)上對(duì)切割長(zhǎng)方體問題進(jìn)行了多方面的討論，引伸出了在工業(yè)生產(chǎn)中，采用何種切割方式從一塊長(zhǎng)方體材料中切割出一個(gè)小長(zhǎng)方體，使其加工費(fèi)用最少。關(guān)鍵字關(guān)鍵字：長(zhǎng)方體；切割；加工；費(fèi)用AbstractAbstractThispaperdescribescuttingarectangularinto

2、theunitcubeyoucanrestackthecutbetweencuttinginthetwo.Howmanytimesatleastitneedstocuttocompletetheproblem.Onthisbasisawiderangeofissuesaboutcuttingtherectangulararediscussedderivedinindustrialproductionmakesmanufacturecos

3、tstoaminimum.Keywds:Keywds:Cuboid；Cutting；Manufacture；Cost1問題的提出問題的提出在RidA.Brualdi的《IntroductyCombinatics》的第一章中描述了一個(gè)這樣的問題：要將一個(gè)邊長(zhǎng)為3英尺的立方體切割成為27個(gè)邊長(zhǎng)為1英尺的立方體，其所需的最少切割次數(shù)為多少？在不改變立方體外形的前提下，若依序進(jìn)行切割。共計(jì)切割6次，每個(gè)方向上切2次，即可得到27個(gè)單位立方體。若

4、在每次切割后，改變各切塊堆置位置，切割次數(shù)能否減少呢？對(duì)于該問題而言，事實(shí)上，6次即為最少切割次數(shù)。對(duì)此，作者運(yùn)用了一個(gè)巧妙的觀點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行證明。即位于立方體中間的這個(gè)立方體的每個(gè)側(cè)面都是通過切割而形成的。既然有6個(gè)截面，那就必須切割6次才能形成。因此，至少需要6次切割才能滿足題目要求。將該問題擴(kuò)展為一般情況。要將一個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b、高為c的長(zhǎng)方體切割成為abc個(gè)單位立方體，其所需的最少切割次數(shù)為多少？命題命題1??aaK2log)11(

5、?其中，表示x向上取整。??x接下來(lái)，開始討論二位問題，即的取值為題。)1(Kba首先對(duì)于的特殊情況進(jìn)行分析。在長(zhǎng)、寬兩個(gè)方向上用觀察nmba22??一可知。與此同時(shí)，利用引理一反方向證明，即可證得nmKnm??)122(。對(duì)于的情況，由引理一可知nmKnm??)122(1222????nnmba。同時(shí)，由引理二可知，1)1(????nmbaK。所以，由此可得。1)122()12(1??????nmKbKnmm1)12(???nmbKm

6、最后一種情況，。由引理一可知，112222??????nnmmba。而由引理二可知，。再1)1(???nmbaK2)122()1(11??????nmKbaKnm此上下界中存在一個(gè)間隙。主要是觀察a、b的值是接近上界還是下界。從特例討論著手，特別是a、b接近下界的情況。例，a=3，b=3.根據(jù)Brualdi的思路，該立方體至少要切割4次才能得到全部的單位立方體，恰好為mn2。下面再舉一個(gè)例子，a=5，b=3。其中，切割一次后，必有一個(gè)切

7、塊不小于33或25。因此，之后切割次數(shù)至少為4。因此，最少切割次數(shù)仍然為mn2。因此，可猜想最少切割次數(shù)即為最少切割次數(shù)即為mn2mn2。觀察二：觀察二：將長(zhǎng)方體V(abc)切割一次產(chǎn)生了中必有)()(2211cbaVcbaV和命題命題2????babaK22loglog)1(??對(duì)于此命題的證明，可將兩個(gè)參數(shù)a、b合二為一，利用普通數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。令ab=s。當(dāng)a=b=1即s=2時(shí)，結(jié)論成立。假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立。現(xiàn)在ks?考慮s=k

8、1的長(zhǎng)方體V(ab1)。不失一般性，該長(zhǎng)方體經(jīng)一次切割分為。現(xiàn)在，我們假設(shè)，即。因此，與的一)1()1(2211baVbaV和21aa?2V1V部分全等。根據(jù)引理二可推知，以下只需只考慮的切割即可。因此可得1V)1(1)1(1baKbaK??反之，之后的切割方法與開始的第一次切割合起來(lái)即為V的最優(yōu)切割方1V法，因此也可得反向不等式。因此，。又由于)1(1)1(1baKbaK??kba??1，由歸納法假設(shè)可知，2max21aaa?21aa