高等數(shù)學(xué)課本(上)

1、第二節(jié)第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限教學(xué)目的：理解數(shù)列極限的概念，為研究微積分作好工具準(zhǔn)備教學(xué)重點(diǎn)：收斂數(shù)列的性質(zhì)及運(yùn)算法則教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及計(jì)算一、數(shù)列極限的概念及定義一、數(shù)列極限的概念及定義本節(jié)討論定義域?yàn)樽匀粩?shù)集N，值域含于實(shí)數(shù)集R的函數(shù)。其函數(shù)只可按照變量的順序排列為1(1)xf?，2(2)xf?，…，()nxfn?，…因此，有下列定義：定義定義設(shè)f是定義于N上的一個(gè)函數(shù)，其函數(shù)值按123n?…的順序排列成一個(gè)序列：1(

2、1)xf?，2(2)xf?，3(3)xf?，…，()nxfn?，…就成為數(shù)列，簡(jiǎn)單地記作??nx。nx稱為數(shù)列的第n項(xiàng)或通項(xiàng)，n為腳標(biāo).例如：????111111(1):123(1)1(1)(2):12(3)(1):1111(1)(4)2:246822135721(5):1234nnnnnnnnnnnnnn????????????????????????????????????????，，，，，，11，，，，，，34，，，，，，，，，，

3、，，，，，，，，，，觀察上面的幾個(gè)數(shù)列，我們可以發(fā)現(xiàn)隨著n的無(wú)限增大，有的數(shù)列無(wú)限的趨近一個(gè)常數(shù)a，有的數(shù)列無(wú)限增大，而有的數(shù)列則與前兩種情況不同.數(shù)列的極限就是研究在自變量n無(wú)限增大這種趨勢(shì)下因變量()nxfn?的變化趨勢(shì).當(dāng)n??（即n無(wú)限增大）時(shí)，如果的()nxfn?的變化趨勢(shì)由一個(gè)確切的“目標(biāo)”a，那么常數(shù)a就叫做該數(shù)列()fn在n??時(shí)的極限.例如：當(dāng)n??時(shí)，1n??????的極限為0，??1nn???????????的極限

4、也是0，21nn???????的極限為2，而??2n與????11n??沒(méi)有極限.如果數(shù)列nx，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列nx的取值能無(wú)限接近常數(shù)a，我們就稱a是nx當(dāng)??n時(shí)的極限，記作在以上證明中，當(dāng)1100??時(shí)，200N?.也就是說(shuō)從第200項(xiàng)以后，數(shù)列的所有項(xiàng)：201202xx?均滿足1100nxa??當(dāng)5110??時(shí)，5210N??，nN??的nx均滿足5110nxa??.需要指出，一般(0)???越小，則N越大，但N不是唯一的.

5、例如1100??時(shí)，取300N?也行（但190N?則不行，為什么？）。例14設(shè)1q?，證明數(shù)列123nqqqq??的極限是0。證因00nnnxqq????令11qt??(由于1q?，故0t?)，則??2(1)112nnntnttnt????????所以??1101nnnxqntt?????.0???要使0nx???，只要1nt??，即1nt??，取1Nt????????，則當(dāng)nN?時(shí)，有0nq???，所以lim0(1)nnqq????在

6、以上證明中為了取得N的較簡(jiǎn)單的表達(dá)式，應(yīng)用了二項(xiàng)式定理。如果從nq??通過(guò)取對(duì)數(shù)得lnlnnq??，取lnlnNq????????也可以。在用N??定義證明極限時(shí)，為了得到N的較為簡(jiǎn)單的表達(dá)式，要對(duì)nxa?進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯?，其主要手法是?)nxaqn??，當(dāng)()qn??時(shí)，比較容易地解出()nh??。例2222用極限定義證明22sin(1)lim031nnnn??????證因?yàn)?2222sin(1)sin(1)111003131331n