泛函分析習(xí)題解答

1、1第一章第一章練習(xí)題練習(xí)題1記是閉區(qū)間是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成的集合上連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成的集合在上定義距離如下上定義距離如下:([])Cab[]ab([])Cab，()|()()|([])bafgfxgxdxfgCab??????（1）按是否完備是否完備([])Cab?（2）的完備化空間是什么的完備化空間是什么(([]))Cab?答：答：(1)不完備例如對(duì)于以及定義[][02]ab?12n??01():112.nnxxfxx??????

2、??則在本題所定義的距離的意義下是Cauchy列因?yàn)?)([02])nfxC?101100()|()()|110().11nmnmnmfffxfxdxxdxxdxmnnm???????????????另一方面點(diǎn)列并不能在本題所定義的距離的意義下收斂到中的某個(gè)元.()nfx([02])C事實(shí)上在幾乎處處收斂的意義下我們有0[01)()()1[12].nxfxgxx???????因此根據(jù)Lebesgue有界收斂定理可以得到101100()|

3、()()|1|0|0.1nnnnfgfxgxdxxdxxdxn????????????但.()([02])gxC?(2)的完備化空間是.因?yàn)?[])Cab1([])Lab(i)在距離的意義下是的稠密子集.事實(shí)上任意取定一個(gè)?([])Cab1([])Lab需要證明:對(duì)于任意的存在使得1()([])fxLab?0??()[]gxCab?.[]()|()()|abfgfxgxdx??????事實(shí)上首先根據(jù)積分的絕對(duì)連續(xù)性存在使得當(dāng)只要就有0?

4、?[]Eab?mE??3(ii)是完備的空間.1(([]))Lab?2設(shè)是距離空間，是距離空間，是的子集，對(duì)任意的的子集，對(duì)任意的，記，記()X?AXxX?，()inf()yAxAxy????則（則（1）是的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù).()xA?x（2）若是中的點(diǎn)列中的點(diǎn)列使是否為是否為CauchyCauchy列為什么為什么nxX()0nxA??nx證：證：(1)任意取定對(duì)于任意的根據(jù)三角不等式有12xxX?yX?.1122()()()xyxx

5、xy?????2211()()()xyxxxy?????對(duì)兩端關(guān)于取下確界可以得到y(tǒng)A?.1122inf()()inf()yAyAxyxxxy???????2211inf()()inf()yAyAxyxxxy???????即1122()()()xAxxxA?????.2211()()()xAxxxA?????由此可得.1212|()()|()xAxAxx?????由此容易證明是上的連續(xù)函數(shù)實(shí)際上還滿足Lipschitz常數(shù)()fx()x

6、A??X()xA?等于1的Lipschitz條件.(2)答:未必是Cauchy列.例如取其中的距離是Euclid距離.對(duì)于對(duì)X?R11A??于定義點(diǎn)列為12n?L1(1).nnxn???對(duì)于點(diǎn)列不難驗(yàn)證nx1()0nxAn???但顯然不是Cauchy列.這里的原因就在于不是點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離而是點(diǎn)到nx()xA?集合的距離當(dāng)這個(gè)集合含有不止一個(gè)點(diǎn)時(shí)不再具有點(diǎn)點(diǎn)之間距離的性質(zhì).A()xA?3是中的Lebesgue可測(cè)集合試證試證按距離按距離