泛函分析第七章-習(xí)題解答1-25

1、第七章第七章習(xí)題解答習(xí)題解答1設(shè)（設(shè)（X，d）為一度量空間，令）為一度量空間，令)(|)()(|)(0000??????????xxdXxxxSxxdXxxxU問的閉包是否等于的閉包是否等于？)(0?xU)(0?xS解不一定。例如離散空間（不一定。例如離散空間（X，d）。=，而，而=X。因此當(dāng)因此當(dāng)X多于多于)1(0xU0x)1(0xS兩點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)時(shí)，的閉包不等于的閉包不等于。)1(0xU)1(0xS2.設(shè)是區(qū)間是區(qū)間上無限次可微函數(shù)的

2、全體，定義上無限次可微函數(shù)的全體，定義][baC?][ba)()(1)()(max21)()()()()(0tgtftgtfgfdrrrrbtarr?????????證明證明按成度量空間。成度量空間。][baC?)(gfd證明證明（1）若）若=0，則，則=0，即，即f=g)(gfd)()(1)()(max)()()()(tgtftgtfrrrrbta?????（2）)()(1)()(max21)()()()()(0tgtftgtfgfd

3、rrrrbtarr?????????)()(1)()()()(1)()(max21)()()()()()()()(0tgthtgthtgtftgtfrrrrrrrrbtarr?????????????)()(1)()(max21)()(1)()(max21)()()()(0)()()()(0tgthtgthtgtftgtfrrrrbtarrrrrrbtarr??????????????????=d（f，g）d（g，h）因此因此按成度量空

4、間。成度量空間。][baC?)(gfd3設(shè)B是度量空間是度量空間X中的閉集，證明必有一列開集中的閉集，證明必有一列開集包含包含B，而且，而且??nooo21。Bonn????1證明證明令是開集：設(shè)是開集：設(shè)，則存在，則存在，使，使nnnonnBxdBoo.211)(?????nox?0Bx?1。設(shè)。設(shè)則易驗(yàn)證則易驗(yàn)證，這就證明了，這就證明了是開集開集nxxd1)(10?0)(110???xxdn?noxU?)(0?no顯然顯然。若。若則

5、對(duì)每一個(gè)則對(duì)每一個(gè)n，有，有使，因此，因此Bonn????1nnox????1Bxn?nxxd1)(1?。因。因B是閉集，必有是閉集，必有，所以，所以。)(???????nxxnBx?Bonn????16.設(shè)，證明度量空間，證明度量空間中的集中的集f|當(dāng)tB時(shí)f（t）=0為中的閉中的閉][baB?][baC?][baC集，而集集，而集A=f|當(dāng)tB時(shí)，時(shí)，|f（t）|〈a（a0）為開集的充要條件是）為開集的充要條件是B為閉集。為閉集。?

6、?證明證明記E=f|當(dāng)tB時(shí)f（t）=0。設(shè)。設(shè)，按中度量收斂于中度量收斂于f，即在，即在?Efn?nf][baC[a，b]上一致收斂于一致收斂于f（t）。設(shè)。設(shè)，則，則，所以，所以fE，這就證，這就證)(tfnBt?0)(lim)(?????tftfnn?明了明了E為閉集為閉集充分性。當(dāng)充分性。當(dāng)B是閉集時(shí)，設(shè)是閉集時(shí)，設(shè)fA。因。因f在B上連續(xù)而上連續(xù)而B是有界閉集，必有是有界閉集，必有，?Bt?0使。設(shè)。設(shè)。我們證明必有。我們證明

7、必有。設(shè)。設(shè))(max)(0tftfBt??0)(0????tfaAfU?)(?，則若，則若，必有，必有，于是，于是)(?fUg?Bt????)()(tgtf，所以，所以，這樣就證明了，這樣就證明了A是開集是開集atftftgtftg??????)(||)(|)()(|)(|0?Ag?必要性。設(shè)必要性。設(shè)A是開集，要證明是開集，要證明B是閉集，只要證明對(duì)任意是閉集，只要證明對(duì)任意若.....21??nBtn0ttn??，必有，必有。)(

8、????nBt?0倘若倘若，則定義，則定義。于是對(duì)任意。于是對(duì)任意，因此因此Bt___0?||)(0ttatfo???Bt?attatfo????||)(0由于由于A是開集，必有是開集，必有，當(dāng)，當(dāng)C[a，b]且時(shí)，時(shí)，。定。定Atfo?)(0???f??)(0ffdAf?義，義，n=1，2。。。。。則。則)(0||)(00???????nttffdnn因此當(dāng)因此當(dāng)時(shí)，時(shí)，。但是。但是，此與，此與的必的必???||0ttnAfn?att

9、ttatfnnn??????||||)(00Afn?要條件：對(duì)要條件：對(duì)任意任意，有，有矛盾矛盾因此必有因此必有。Bt?atfn?)(Bt?07.設(shè)E及F是度量空間中的兩個(gè)集，如果是度量空間中的兩個(gè)集，如果，證明必有不相交開集，證明必有不相交開集O及GoFEd?)(分別包含分別包含E及F。證明證明設(shè)。令。令oFEd???)(2)(|2)(|??????FxdxGExdxo則且，事實(shí)上，若，事實(shí)上，若，則有，則有，所以存，所以存GFOE?