直線與圓位置關(guān)系知識點(diǎn)與經(jīng)典例題

1、直線與圓位置關(guān)系 直線與圓位置關(guān)系 一． 一．課標(biāo)要求 課標(biāo)要求 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系； 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題； 3.在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。 二． 二．知識框架 知識框架 相離 幾何法 弦長 直線與圓的位置關(guān)系 相交 代數(shù)法 切割線定理 相切 直線與圓 代數(shù)法 求切線的方法 幾何法 圓的切線方程 過圓上一點(diǎn)的切線方程 圓的切線方程 切

2、點(diǎn)弦 過圓外一點(diǎn)的切線方程 方程 三． 三．直線與圓的位置關(guān)系及其判定方法 直線與圓的位置關(guān)系及其判定方法 1.利用圓心 0 ) , ( ? ? ? C By Ax b a O 到直線 的距離2 2 B AC Bb Aa d?? ? ? 與半徑r 的大小來判定。 （1） ? ? r d 直線與圓相交 （2） ? ? r d 直線與圓相切 （3） ? ? r d 直線與圓相離 2.聯(lián)立直線與圓的方程組成方程組， 消去其中一個(gè)未知量

3、， 得到關(guān)于另外一個(gè)未知量的一元二次方程，通過解的個(gè)數(shù)來判定。 （1）有兩個(gè)公共解（交點(diǎn)） ，即 ? ? ? 0 直線與圓相交 （2）有且僅有一個(gè)解（交點(diǎn)） ，也稱之為有兩個(gè)相同實(shí)根，即 0 ? ? ? 直線與圓相切 （3）無解（交點(diǎn)） ，即 ? ? ? 0 直線與圓相離 3.等價(jià)關(guān)系 相交 0 ? ? ? ? ? r d相切 0 ? ? ? ? ? r d相離 0 ? ? ? ? ? r d練習(xí) 練習(xí) （位置關(guān)系） （位置關(guān)系）1.已

4、知?jiǎng)又本€ 5 : ? ? kx y l 和圓 1 ) 1 ( : 2 2 ? ? ? y x C ，試問k 為何值時(shí)，直線與圓相切、相離、相交？ （位置關(guān)系） （位置關(guān)系）2.已知點(diǎn) ) , ( b a M 在圓 1 : 2 2 ? ? y x O 外，則直線 1 ? ? by ax 與圓O 的位置關(guān)A. 4 ) 1 ( ) 3 ( 2 2 ? ? ? ? y xB. 4 ) 3 ( ) 1 ( 2 2 ? ? ? ? y xC.

5、 4 ) 3 ( ) 1 ( 2 2 ? ? ? ? y xD. 4 ) 1 ( ) 3 ( 2 2 ? ? ? ? y x12. 直線 3 y kx ? ? 與圓 2 2 ( 2) ( 3) 4 x y ? ? ? ? 相交于 N M , 兩點(diǎn)，若 ? | | MN 2 3 ， 則k 的取值范圍是( ) A． 3 [ ,0] 4 ?B． 3 3 [ , ] 3 3 ?C．[ 3, 3] ?D． 2 [ ,0] 3 ?13.

6、圓 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)． (1)證明：不論 m 取什么實(shí)數(shù)，直線 l 與圓恒相交于兩點(diǎn)； (2)求⊙C 與直線 l 相交弦長的最小值． [解析] (1)將方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，變形為(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0. 直線 l 恒過兩直線 2x＋y－7＝0 和 x＋y－4＝0 的交點(diǎn)， 由? ? ? ? ?2x＋y－7＝0x

7、＋y－4＝0 得交點(diǎn) M(3,1)． 又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴點(diǎn) M(3,1)在圓 C 內(nèi)，∴直線 l 與圓 C 恒有兩個(gè)交點(diǎn)．(2)由圓的性質(zhì)可知，當(dāng) l⊥CM 時(shí)，弦長最短． 又|CM|＝ (3－1)2＋(1－2)2＝ 5， ∴弦長為 l＝2 r2－|CM|2＝2 25－5＝4 5. 四． 四．計(jì)算直線被圓所截得的弦長的方法 計(jì)算直線被圓所截得的弦長的方法 1.幾何法：運(yùn)用弦心距、半徑、半弦長構(gòu)成的 ? R

8、t 計(jì)算，即 2 2 2 d r AB ? ?2.代數(shù)法：運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理） ，即? ? B A B A B A x x x x k x x k AB 4 ) ( ) 1 ( 1 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?（注：?當(dāng)直線 AB 斜率不存在時(shí)，請自行探索與總結(jié)； ?弦中點(diǎn)坐標(biāo)為 ） （ 2 , 2B A B A y y x x ? ? ，求解弦中點(diǎn)軌跡方程。 ） 練習(xí) 練習(xí) 1.直線 3 2 ? ? x y 被圓 0

9、 8 6 2 2 ? ? ? ? y x y x 所截得的弦長等于（） 2.過點(diǎn) ) 1 , 2 ( 的直線中被圓 0 4 2 2 2 ? ? ? ? y x y x 截得的弦長最大的直線方程 是( ) A. 0 5 3 ? ? ? y xB. 0 7 3 ? ? ? y xC. 0 5 3 ? ? ? y xD. 0 5 3 ? ? ? y x3.已知圓C 過點(diǎn) ) 0 , 1 ( ，且圓心在 x 軸的正半軸上，直線