2002 a題材車(chē)燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)師參考答案

1、第1頁(yè)，共4頁(yè)20022002高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題車(chē)燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)車(chē)燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)參考答案參考答案注意：以下答案是命題人給出的，僅供參考。各評(píng)閱組應(yīng)根據(jù)對(duì)題目的理解及學(xué)生的解答，自主地進(jìn)行評(píng)閱。一.假設(shè)和簡(jiǎn)化假設(shè)和簡(jiǎn)化(略)二.模型的建立模型的建立建立坐標(biāo)系如下圖，記線光源長(zhǎng)度為l，功率為W，BC點(diǎn)的光強(qiáng)度分別為W和)(lhBW，先求和的表達(dá)式，再建立整個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.)(lhC)(

2、lhB)(lhC以下均以毫米為單位，由所給信息不難求出車(chē)燈反射面方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為6022yxz??（0015）。1)位于點(diǎn)P(0w15)的單位能量的點(diǎn)光源反射到點(diǎn)C(0260025015)的能量設(shè)反射點(diǎn)的坐標(biāo)為Q.記入射向量為該點(diǎn)反射面外法線方向?yàn)椴浑y得)60(22yxyx?a?b?到反射向量滿足c?.22bbbaac?????????記由222yxr??)13030()1560(2?????yxbrwyxa??從而得的表達(dá)式)(zy

3、xcccc??)900(6081000036001800900)9002(90022242222???????????rwyrrcrrywcrxywczyx注意到反射光通過(guò)C點(diǎn)應(yīng)有602501526002rkcykcxkczyx??????PQbACB0cazyx第3頁(yè)，共4頁(yè).)()(22???llCdwwElh類(lèi)似可得的表達(dá)式.相應(yīng)的反射點(diǎn)方程為)(lhB???????????????????????????223459002600

4、)1300(137500.010530000001350810000)8100004680000()23400001498200(1800)1300(0yyxwwywywywyywyx相應(yīng)的而第二組方程的有兩個(gè)反射點(diǎn)的范圍為78.00??Bw].7800005.0906.1[???w3）優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型設(shè)線光源的功率為W則它反射到B點(diǎn)和C點(diǎn)的能量密度分別為和WlhB?)(.問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為:WlhC?)(?????????1)(2)(

5、..min00WlhWlhtsWCBll三.模型的求解模型的求解可以用數(shù)值積分求得.應(yīng)具備下列性質(zhì)：)()(lhlhCB)(lhB???????????????00200)(llllllwlllhBBBBBB其中為起亮值，為最大值點(diǎn)，為考察的最大范圍，例如取為20mm。也有類(lèi)似的BlBl0l)(lhC性質(zhì)，且起亮值和最大值點(diǎn)均相應(yīng)地右移.數(shù)值求解記其解為再求出)(2)(lhlhCB?ll?不難看出且落在之中。CBllCBll?l)(CB

6、ll令現(xiàn)證為問(wèn)題之最優(yōu)值。事實(shí)上，對(duì)可行域中任一，)(2)(1lhlhwBC??w)(wl當(dāng)有（用到時(shí)）。ll?)(2)(2wlhHlhHwBB???ll??Bh當(dāng)，有，（用到時(shí)）。ll?)()(wlhHlhHwCC???ll??ch這就證明了的確是最小值。w事實(shí)上數(shù)值結(jié)果為.62.322.616.3???lllCB四.反射光亮區(qū)的計(jì)算反射光亮區(qū)的計(jì)算分別將線光源和車(chē)燈反射面離散化為點(diǎn)光源和面元的集合，計(jì)算每一點(diǎn)光源關(guān)于每一車(chē)燈反射面元