均值不等式及其證明

1、1平均值不等式及其證明平均值不等式及其證明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。平均值不等式的證明有許多種方法，這里，我們選了部分具有代表意義的證明方法，其中用來證明平均值不等式的許多結(jié)論，其本身又具有重要的意義，特別是，在許多競(jìng)賽的書籍中，都有專門的章節(jié)介紹和討論，如數(shù)學(xué)歸納法、變量替換、恒等變形和分析綜合方法等，這些也是證明不等式的常用方法和技巧。1.1平均值不等式平均值不等式一般地，假設(shè)為n

2、個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，它們的算術(shù)平均值記為12...naaa12...nnaaaAn????幾何平均值記為。11212(...)...nnnnnGaaaaaa??算術(shù)平均值與幾何平均值之間有如下的關(guān)系。，1212......nnnaaaaaan????即，nnAG?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。12...naaa???上述不等式稱為平均值不等式，或簡(jiǎn)稱為均值不等式。平均值不等式的表達(dá)形式簡(jiǎn)單，容易記住，但它的證明和應(yīng)用非常靈活、廣泛，有多種不同的方法。為

3、使大家理解和掌握，這里我們選擇了其中的幾種典型的證明方法。供大家參考學(xué)習(xí)。1.2平均值不等式的證明平均值不等式的證明證法一（歸納法）（1）當(dāng)時(shí)，已知結(jié)論成立。2n?（2）假設(shè)對(duì)nk?（正整數(shù)2k?）時(shí)命題成立，即對(duì)012...iaik??有。11212...(...)kknaaaaaak????那么，當(dāng)1nk??時(shí)，由于121...kkaaaa?????121111...(...)(1)kkkkkaaaaGGkG????????????

4、??112111...(1)kkkkkkkkaaakaGkG????????1121112...(1)kkkkkkkkaaaaGkG???????1121112(1)kkkkkkkGGkG????????1(1)kkG???從而，有11kkAG???證法三（歸納法）（1）當(dāng)時(shí)，已知結(jié)論成立。2n?（2）假設(shè)對(duì)nk?（正整數(shù)2k?）時(shí)命題成立，即對(duì)012...iaik??有。1212......kkkaaakaaa????那么，當(dāng)1nk?