成人高考專升本高數(shù)一復(fù)習(xí)資料

1、成人高考高數(shù)一復(fù)成人高考高數(shù)一復(fù)習(xí)資習(xí)資料第一章第一章極限和連續(xù)極限和連續(xù)第一節(jié)第一節(jié)極限極限[復(fù)習(xí)考試要求復(fù)習(xí)考試要求]1.理解極限的概念（對(duì)極限定義、、等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3.理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等

2、價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。[主要知識(shí)內(nèi)容主要知識(shí)內(nèi)容]（一）數(shù)列的極限（一）數(shù)列的極限1.1.數(shù)列數(shù)列按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱為數(shù)列，記作，其中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)。為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如（1）1，3，5，…，，…（2）（3）（4）1，0，1，0，…，…都是數(shù)列。在幾何上，數(shù)列可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)。2.2.數(shù)列的極限數(shù)列的極限定義對(duì)于數(shù)列，如果當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)

3、常數(shù)A，則稱當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作否則稱數(shù)列沒(méi)有極限，如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若數(shù)列以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，點(diǎn)可以無(wú)限靠近點(diǎn)A。（二）數(shù)列極限的性質(zhì)（二）數(shù)列極限的性質(zhì)定理定理1.11.1（惟一性）若數(shù)列收斂，則其極限值必定惟一。定理定理1.21.2（有界性）若數(shù)列收斂，則它必定有界。注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就

4、是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收斂。定理定理1.31.3（兩面夾定理）若數(shù)列，，滿足不等式且。定理定理1.41.4若數(shù)列單調(diào)有界，則它必有極限。下面我們給出數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。定理定理1.51.5（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，（三）函數(shù)極限的概念（三）函數(shù)極限的概念1.1.當(dāng)時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù)的極限的極限（1）當(dāng)時(shí)的極限定義對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)x無(wú)限地趨于時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是A，記作或（當(dāng)時(shí)）（2）當(dāng)時(shí)的左極限定義對(duì)于函數(shù)，如

5、果當(dāng)x從的左邊無(wú)限地趨于時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的左極限是A，記作或例如函數(shù)當(dāng)x從0的左邊無(wú)限地趨于0時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1.我們稱：當(dāng)時(shí)，的左極限是1，即有（3）當(dāng)時(shí)，的右極限定義對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)x從的右邊無(wú)限地趨于時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的右極限是A，記作或又如函數(shù)當(dāng)x從0的右邊無(wú)限地趨于0時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1。因此有這就是說(shuō)，對(duì)于函數(shù)當(dāng)時(shí)，的左極限是1，而右極限是1，即但是對(duì)于函數(shù)，當(dāng)

6、時(shí)，的左極限是2，而右極限是2。顯然，函數(shù)的左極限、右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系：定理1.6當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限等于A的必要充分條件是這就是說(shuō)：如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限等于A，則必定有左、右極限都等于A。反之，如果左、右極限都等于A，則必有。這個(gè)結(jié)論很容易直接由它們的定義得到。以上講的是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限存在的情況，對(duì)于某些函數(shù)的某些點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，的極限也可能不存在。2.2.當(dāng)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)的極限的極限（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限定義對(duì)于函數(shù)，如果

7、當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是A，記作或（當(dāng)時(shí)）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限定義對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是A，記作這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，只不過(guò)在數(shù)列極限的定義中一定表示，且n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫出，且其中的x不一定是整數(shù)。如函數(shù)，當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于常數(shù)2，因此有2、重要極限Ⅱ?qū)傩偷膬缰感偷臉O限問(wèn)題其中e是個(gè)常數(shù)，叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為：e=2.718281

8、828495045…其結(jié)構(gòu)式可表示為（七）求極限的方法（七）求極限的方法1.利用極限的四則運(yùn)算法則求極限；2.利用兩個(gè)重要極限求極限；3.利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限；4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5.利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；6.利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限。四則運(yùn)算法則：四則運(yùn)算法則：limf(x)=Alimg(x)=B①lim〔f（x）g（x）〕=limf(x)limg(x)=AB②lim〔f（x）g（x）〕=limf(x)limg

9、(x)=AB③limK（x）=Klimf（x）=KA④lim==（B≠0）⑤limf(x)=〔limf（x）〕n=An基本極限公式基本極限公式（1）limc=c（2），（3），（4）1.1.約分，求極限約分，求極限[答][答]02.2.當(dāng)時(shí)型的極限型的極限[答]3計(jì)算極限[答]0一般地，有計(jì)算極限[答]3.3.無(wú)窮小的性質(zhì)求極限無(wú)窮小的性質(zhì)求極限等于A.0B.C.1D.2[答]A4.4.第Ⅰ個(gè)重要極限個(gè)重要極限等于A.0B.C.1D.3

10、[答]D等于A.0B.1C.D.[答]A若存在，且，則[答]15.5.第Ⅱ個(gè)重要極限個(gè)重要極限求極限[答]等于（）A.B.eC.D.[答]D計(jì)算[答]e6.6.求極限的逆問(wèn)題求極限的逆問(wèn)題（1）當(dāng)時(shí)，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)例1.若，求a，b的值.[答]型未定式.a=3，b=2。（2）當(dāng)x→∞時(shí)，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)（一）27]若，求a，b的值.[答]型a=1，b=1.設(shè)，則K=_____。[答]7.7.無(wú)窮小量無(wú)窮小量當(dāng)x

11、→0時(shí)，下列函數(shù)為無(wú)窮小的是（）A.B.C.D.2x1[答]B當(dāng)x→0時(shí)，是x的（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小，但不等價(jià)D.等價(jià)無(wú)窮小[答]C當(dāng)x→0時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小，則必有a=_____。[答]第二節(jié)第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性[復(fù)習(xí)考試要求復(fù)習(xí)考試要求]（1）理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法（2）會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。（3）掌握在閉

12、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單的命題。（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用連續(xù)性求極限[主要知識(shí)內(nèi)容主要知識(shí)內(nèi)容]（一）函數(shù)連續(xù)的概念（一）函數(shù)連續(xù)的概念1、函數(shù)在點(diǎn)、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)也趨近于0，即或則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)連續(xù)也可作如下定義。定義2設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義