成人高考專升本高數(shù)一復習資料

1、成人高考高數(shù)一復成人高考高數(shù)一復習資習資料第一章第一章極限和連續(xù)極限和連續(xù)第一節(jié)第一節(jié)極限極限[復習考試要求復習考試要求]1.理解極限的概念（對極限定義、、等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等

2、價無窮小量代換求極限。4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。[主要知識內(nèi)容主要知識內(nèi)容]（一）數(shù)列的極限（一）數(shù)列的極限1.1.數(shù)列數(shù)列按一定順序排列的無窮多個數(shù)稱為數(shù)列，記作，其中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第n項。為數(shù)列的一般項或通項，例如（1）1，3，5，…，，…（2）（3）（4）1，0，1，0，…，…都是數(shù)列。在幾何上，數(shù)列可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點。2.2.數(shù)列的極限數(shù)列的極限定義對于數(shù)列，如果當時，無限地趨于一個

3、常數(shù)A，則稱當n趨于無窮大時，數(shù)列以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作否則稱數(shù)列沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)列以A為極限，就表示當n趨于無窮大時，點可以無限靠近點A。（二）數(shù)列極限的性質(zhì)（二）數(shù)列極限的性質(zhì)定理定理1.11.1（惟一性）若數(shù)列收斂，則其極限值必定惟一。定理定理1.21.2（有界性）若數(shù)列收斂，則它必定有界。注意：這個定理反過來不成立，也就

4、是說，有界數(shù)列不一定收斂。定理定理1.31.3（兩面夾定理）若數(shù)列，，滿足不等式且。定理定理1.41.4若數(shù)列單調(diào)有界，則它必有極限。下面我們給出數(shù)列極限的四則運算定理。定理定理1.51.5（1）（2）（3）當時，（三）函數(shù)極限的概念（三）函數(shù)極限的概念1.1.當時函數(shù)時函數(shù)的極限的極限（1）當時的極限定義對于函數(shù)，如果當x無限地趨于時，函數(shù)無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當時，函數(shù)的極限是A，記作或（當時）（2）當時的左極限定義對于函數(shù)，如

5、果當x從的左邊無限地趨于時，函數(shù)無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當時，函數(shù)的左極限是A，記作或例如函數(shù)當x從0的左邊無限地趨于0時，無限地趨于一個常數(shù)1.我們稱：當時，的左極限是1，即有（3）當時，的右極限定義對于函數(shù)，如果當x從的右邊無限地趨于時，函數(shù)無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當時，函數(shù)的右極限是A，記作或又如函數(shù)當x從0的右邊無限地趨于0時，無限地趨于一個常數(shù)1。因此有這就是說，對于函數(shù)當時，的左極限是1，而右極限是1，即但是對于函數(shù)，當

6、時，的左極限是2，而右極限是2。顯然，函數(shù)的左極限、右極限與函數(shù)的極限之間有以下關系：定理1.6當時，函數(shù)的極限等于A的必要充分條件是這就是說：如果當時，函數(shù)的極限等于A，則必定有左、右極限都等于A。反之，如果左、右極限都等于A，則必有。這個結論很容易直接由它們的定義得到。以上講的是當時，函數(shù)的極限存在的情況，對于某些函數(shù)的某些點處，當時，的極限也可能不存在。2.2.當時，函數(shù)時，函數(shù)的極限的極限（1）當時，函數(shù)的極限定義對于函數(shù)，如果

7、當時，無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當時，函數(shù)的極限是A，記作或（當時）（2）當時，函數(shù)的極限定義對于函數(shù)，如果當時，無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當時，函數(shù)的極限是A，記作這個定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，只不過在數(shù)列極限的定義中一定表示，且n是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫出，且其中的x不一定是整數(shù)。如函數(shù)，當時，無限地趨于常數(shù)2，因此有2、重要極限Ⅱ?qū)傩偷膬缰感偷臉O限問題其中e是個常數(shù)，叫自然對數(shù)的底，它的值為：e=2.718281

8、828495045…其結構式可表示為（七）求極限的方法（七）求極限的方法1.利用極限的四則運算法則求極限；2.利用兩個重要極限求極限；3.利用無窮小量的性質(zhì)求極限；4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5.利用洛必達法則求未定式的極限；6.利用等價無窮小代換定理求極限。四則運算法則：四則運算法則：limf(x)=Alimg(x)=B①lim〔f（x）g（x）〕=limf(x)limg(x)=AB②lim〔f（x）g（x）〕=limf(x)limg

9、(x)=AB③limK（x）=Klimf（x）=KA④lim==（B≠0）⑤limf(x)=〔limf（x）〕n=An基本極限公式基本極限公式（1）limc=c（2），（3），（4）1.1.約分，求極限約分，求極限[答][答]02.2.當時型的極限型的極限[答]3計算極限[答]0一般地，有計算極限[答]3.3.無窮小的性質(zhì)求極限無窮小的性質(zhì)求極限等于A.0B.C.1D.2[答]A4.4.第Ⅰ個重要極限個重要極限等于A.0B.C.1D.3

10、[答]D等于A.0B.1C.D.[答]A若存在，且，則[答]15.5.第Ⅱ個重要極限個重要極限求極限[答]等于（）A.B.eC.D.[答]D計算[答]e6.6.求極限的逆問題求極限的逆問題（1）當時，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)例1.若，求a，b的值.[答]型未定式.a=3，b=2。（2）當x→∞時，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)（一）27]若，求a，b的值.[答]型a=1，b=1.設，則K=_____。[答]7.7.無窮小量無窮小量當x

11、→0時，下列函數(shù)為無窮小的是（）A.B.C.D.2x1[答]B當x→0時，是x的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小，但不等價D.等價無窮小[答]C當x→0時，與為等價無窮小，則必有a=_____。[答]第二節(jié)第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性[復習考試要求復習考試要求]（1）理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在的關系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的方法（2）會求函數(shù)的間斷點。（3）掌握在閉

12、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會用介值定理推證一些簡單的命題。（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用連續(xù)性求極限[主要知識內(nèi)容主要知識內(nèi)容]（一）函數(shù)連續(xù)的概念（一）函數(shù)連續(xù)的概念1、函數(shù)在點、函數(shù)在點處連續(xù)處連續(xù)定義1設函數(shù)y=f（x）在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的改變量趨近于0時，相應的函數(shù)也趨近于0，即或則稱函數(shù)y=f（x）在點處連續(xù)。函數(shù)y=f（x）在點連續(xù)也可作如下定義。定義2設函數(shù)y=f（x）在點的某一鄰域內(nèi)有定義