第十六章 偏導數與全微分

1、1第十六章第十六章偏導數與全微分偏導數與全微分11偏導數與全微分概念偏導數與全微分概念這部分要掌握的1、連續(xù)、偏導數、可微三個概念的定義；2、連續(xù)、偏導數、可微三個概念之間的關系；二元函數的連續(xù)、偏導數、可微的概念都是用極限定義的，不同的概念對應不同的極限，切勿混淆。考慮函數在點的情形，則它們分別為：)(yxf)(00yx在點連續(xù)定義連續(xù)定義為：)(yxf)(00yx)()(lim0000yxfyxfyyxx???在點存在偏導數定義偏導

2、數定義為：)(yxf)(00yx或000000)()(lim)(0xxyxfyxfyxfxxx????xyxfyxxfyxfxxx???????)()(lim)(0000000或000000)()(lim)(0yyyxfyxfyxfyyy????yyxfyyxfyxfyyy??????)()(lim)(0000000在點可微定義可微定義為：)(yxf)(00yx0)()()()(lim220000000000??????????????

3、???yxyyxfxyxfyxfyyxxfyxyx因此，要討論點的可微性，首先要求，。這三個概念之)(yxf)(00yx)(00yxfx)(00yxfy間的關系可以用下圖表示（在點）)(00yx3124在上述關系中，反方向均不成立。下面以點為例，逐一討論。)00()(00?yx42，43例1：?????????????000)(222222yxyxyxxyyxf這是教材中的典型例題，均存在，但在點不可微，且0)00()00(??yxff

4、)(yxf)00(不存在，即在點不連續(xù)。)(lim00yxfyx??)(yxf)00(，連xfyf續(xù)可微f連續(xù)f，存xfyf在322復合函數與隱函數微分法復合函數與隱函數微分法求復合函數與隱函數的偏導數，關鍵在于搞清楚各變量之間的關系。在求復合函數的高階偏導時，尤其要搞清楚偏導函數各變量之間的關系。只有明確了變量之間的關系，才可能正確使用鏈式法則。例1設為常數，函數二階可導，，證明ccrtgrv)(1??g222zyxr???22222

5、22221tvczvyvxv???????????證變量之間的關系為注意這里是某變量的一元函數，而。????????????tzyxrvgucrtu??因為，xrrvxv???????2222222)(xrrvxrrvxv????????????由的對稱性得，zyx2222222)(yrrvyrrvyv????????????2222222)(zrrvzrrvzv????????????而，，rxxr???222rxrxrxr?????

6、?32222rxrrrxr????由的對稱性得，，zyxryyr??????22yr322ryr?，。rzzr??????22zr322rzr?于是][])()()[(22222222222222222zryrxrrvzryrxrrvzvyvxv??????????????????????????????322222223])()()[(rrrrvrzryrxrv?????????rrvrv222??????又因為)(1)(12crtg