第十六章 偏導數(shù)與全微分

1、1第十六章第十六章偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)與全微分11偏導數(shù)與全微分概念偏導數(shù)與全微分概念這部分要掌握的1、連續(xù)、偏導數(shù)、可微三個概念的定義；2、連續(xù)、偏導數(shù)、可微三個概念之間的關系；二元函數(shù)的連續(xù)、偏導數(shù)、可微的概念都是用極限定義的，不同的概念對應不同的極限，切勿混淆?？紤]函數(shù)在點的情形，則它們分別為：)(yxf)(00yx在點連續(xù)定義連續(xù)定義為：)(yxf)(00yx)()(lim0000yxfyxfyyxx???在點存在偏導數(shù)定義偏導

2、數(shù)定義為：)(yxf)(00yx或000000)()(lim)(0xxyxfyxfyxfxxx????xyxfyxxfyxfxxx???????)()(lim)(0000000或000000)()(lim)(0yyyxfyxfyxfyyy????yyxfyyxfyxfyyy??????)()(lim)(0000000在點可微定義可微定義為：)(yxf)(00yx0)()()()(lim220000000000??????????????

3、???yxyyxfxyxfyxfyyxxfyxyx因此，要討論點的可微性，首先要求，。這三個概念之)(yxf)(00yx)(00yxfx)(00yxfy間的關系可以用下圖表示（在點）)(00yx3124在上述關系中，反方向均不成立。下面以點為例，逐一討論。)00()(00?yx42，43例1：?????????????000)(222222yxyxyxxyyxf這是教材中的典型例題，均存在，但在點不可微，且0)00()00(??yxff

4、)(yxf)00(不存在，即在點不連續(xù)。)(lim00yxfyx??)(yxf)00(，連xfyf續(xù)可微f連續(xù)f，存xfyf在322復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法求復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù)，關鍵在于搞清楚各變量之間的關系。在求復合函數(shù)的高階偏導時，尤其要搞清楚偏導函數(shù)各變量之間的關系。只有明確了變量之間的關系，才可能正確使用鏈式法則。例1設為常數(shù)，函數(shù)二階可導，，證明ccrtgrv)(1??g222zyxr???22222

5、22221tvczvyvxv???????????證變量之間的關系為注意這里是某變量的一元函數(shù)，而。????????????tzyxrvgucrtu??因為，xrrvxv???????2222222)(xrrvxrrvxv????????????由的對稱性得，zyx2222222)(yrrvyrrvyv????????????2222222)(zrrvzrrvzv????????????而，，rxxr???222rxrxrxr?????

6、?32222rxrrrxr????由的對稱性得，，zyxryyr??????22yr322ryr?，。rzzr??????22zr322rzr?于是][])()()[(22222222222222222zryrxrrvzryrxrrvzvyvxv??????????????????????????????322222223])()()[(rrrrvrzryrxrv?????????rrvrv222??????又因為)(1)(12crtg