工程矩陣?yán)碚?東南大學(xué)數(shù)學(xué)系

1、1,工 程,矩陣?yán)碚?東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 周建華,2,教材 工程矩陣?yán)碚?張明淳，東南大學(xué)出版社參考書(shū) 1.高等代數(shù)， 北京大學(xué)，高等教育出版社 2.Matrix Analysis, R.A.Horn and C.R.Johnson, Cambridge University Press, 2004 (有中譯本，機(jī)械工業(yè)出版社）,3,要 求,重點(diǎn)是基本理論

2、，基本方法；結(jié)合授課內(nèi)容，熟悉課本；通過(guò)例題，理解概念；通過(guò)練習(xí)題，熟悉理論和方法。,4,本課程大致內(nèi)容,第0章 復(fù)習(xí)與引深第1章 線性空間與線性變換第2章 內(nèi)積空間、等距變換第3章 矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形第4章 Hermite二次型第5章 范數(shù)及矩陣函數(shù)第6章 矩陣的廣義逆,5,矩陣?yán)碚?6,第0章 復(fù)習(xí)與引深,矩陣運(yùn)算線性方程組向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩矩陣的秩,7,1.矩陣的乘法中應(yīng)注意的問(wèn)題,(1

3、) 存在非零零因子 例1,8,(2) 不可交換,9,（3）由此導(dǎo)致的一些問(wèn)題,乘法消去律不成立一些代數(shù)恒等式對(duì)矩陣不再成立,10,例3,11,（4）分塊矩陣,設(shè),將這兩個(gè)矩陣分塊：,其中，,12,條件：上式有意義,13,一些常見(jiàn)的分塊形式,1.,14,15,,16,17,18,2. 線性方程組,1.,2.,3.,19,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,對(duì)于齊次線性方程組,1. 有非零解當(dāng)且僅當(dāng),,20,例5,,,,,,21

4、,簡(jiǎn)化階梯形矩陣,22,續(xù)例5,23,Gauss消元法,24,例6,25,例7,26,3.向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩,,,27,例8,28,4.矩陣的秩,矩陣A的秩=A中非零子式的最高階數(shù) =A的行（列）向量組的秩,有關(guān)矩陣的秩的不等式：,29,例9,30,例10,31,矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形,32,33,例12：,34,線性空間和線性變換,第一章,35,第一節(jié) 線性空間的定義,用F表示實(shí)數(shù)全體（R）或復(fù)數(shù)全體（C

5、）.,36,如果滿足下述公理，則稱V是數(shù)域F上的線性空間， V中的元素稱為向量。,37,例1,38,例1（續(xù)）,39,線性空間的性質(zhì),40,第二節(jié) 基、維數(shù)和坐標(biāo),如：,在線性空間中可以定義線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)，向量組的極大線性無(wú)關(guān)組、秩等概念。,41,一些重要結(jié)論,42,43,例2,44,定義（基，維數(shù)）,45,注：,46,例3,47,定理1,48,定義（坐標(biāo)）：,49,例5,50,例6,51,注,線性

6、空間的基是有序的?；喈?dāng)于幾何空間中的坐標(biāo)系。,52,定理2,53,例7,54,例8,55,形式記號(hào),56,形式記號(hào),57,形式記號(hào)的性質(zhì),58,例9,59,定義(過(guò)渡矩陣),60,過(guò)渡矩陣的性質(zhì),61,例10,62,定理3(坐標(biāo)變換公式),63,例11,64,第三節(jié) 子空間, 交與和,65,定理1,66,兩類重要的子空間,67,命題：,68,例12,69,例13,70,例14,71,例15,72,定理2,73,子空間的交與和,7

7、4,子空間的交與和,75,注：交與并的區(qū)別,76,定理4（維數(shù)定理）,77,例16,78,例17,79,例18,80,直和,81,定理5,82,例19,83,例20,84,多個(gè)子空間的直和,85,,定理6,86,,87,第四節(jié) 線性映射,88,89,定義：,90,例21,91,例22,92,例23,93,注,94,線性映射的性質(zhì)：,95,96,例24,97,例25,98,線性變換的運(yùn)算,它們都是線性映射。,99,線性映射的運(yùn)算的性質(zhì)

8、：,100,線性映射（變換）的矩陣：,101,例26,102,例27,103,定理8,104,定理9,105,例28,106,定理10,對(duì)線性映射的矩陣有類似的性質(zhì)。,107,第五節(jié) 線性映射的值域及核子空間,108,值域的計(jì)算,109,核子空間的計(jì)算,110,定理12（線性映射的維數(shù)定理）,111,注：對(duì)無(wú)限維空間，推論不成立。,112,例29,113,定義（不變子空間）：,114,為何要討論不變子空間？,115,為何要討論不變子空

9、間？,116,例30,117,線性空間的同構(gòu),118,119,120,121,第二章,內(nèi)積空間、等距變換,122,第一節(jié) 基本概念,本章的目的：將內(nèi)積推廣到抽象的線性空間約定：數(shù)域F指實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C,123,例1,124,內(nèi)積的性質(zhì),125,度量矩陣,126,向量的模（長(zhǎng)度）,127,C-B不等式,128,三角不等式,129,正交性,130,標(biāo)準(zhǔn)正交基,131,標(biāo)準(zhǔn)正交基下的內(nèi)積,132,Schmidt正交化方法,,,133,例

10、2,134,例3,135,酉矩陣,136,定理1,137,Schmidt正交化方法的應(yīng)用,138,注,139,矩陣的UT分解,140,例4,141,定理2,142,第二節(jié) 正交補(bǔ)空間,143,正交補(bǔ)空間,144,正交補(bǔ)空間的計(jì)算,145,正交補(bǔ)空間的計(jì)算,146,例5,147,一個(gè)幾何問(wèn)題,空間中點(diǎn)到直線的距離：,,·,,,148,空間中向量到子空間的距離：,,,,,149,150,例6,151,例7,152,應(yīng)用---Fo

11、urier系數(shù),153,最小二乘解,154,第三節(jié) 等距變換,155,例8,156,定理7,157,,,,,,,關(guān)于直線的反射,158,歐氏空間中的反射,159,鏡像變換,160,,,,,,,,161,例9,162,第三章,矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形,163,矩陣與線性變換,本章的目的：對(duì)給定的矩陣，找一最簡(jiǎn)單的矩陣與之相似。對(duì)給定的線性空間上的線性變換，找線性空間的一組基，使得線性變換的矩陣最簡(jiǎn)單。,164,第一節(jié) 特征值與特征向量,16

12、5,矩陣的相似對(duì)角化,166,線性變換的特征值、特征向量,167,線性變換的可對(duì)角化問(wèn)題,168,例1,169,線性變換的特征值、特征向量的計(jì)算,170,例2,171,定理1,172,特征多項(xiàng)式的計(jì)算,173,主子式與子式,,,,,,,174,主子式與子式,,,,,,,175,特征多項(xiàng)式的計(jì)算,176,矩陣的跡,177,例3,178,化零多項(xiàng)式,179,第二節(jié) Hamilton-Cayley定理,180,例4,181,例5,182,最小

13、多項(xiàng)式,183,定理5,184,例6,185,例7,186,例8,187,第三節(jié) 可對(duì)角化的條件,目的： 對(duì)給定的矩陣，判斷其是否相似于對(duì)角陣；,對(duì)給定的線性空間上的線性變換，判斷是否存在空間的一組基，使得其矩陣是對(duì)角陣。,188,已知的判別方法,189,線性變換的可對(duì)角化問(wèn)題,190,特征子空間,191,可對(duì)角化的條件,192,例9,193,定理12,194,定理13,195,例10,196,定理14,197,例11,198,

14、例12,199,第四節(jié) Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,問(wèn)題：如果給定的矩陣不與任何對(duì)角陣相似，如何找一最簡(jiǎn)單的矩陣與之相似。等價(jià)的問(wèn)題：若線性空間上給定的線性變換不可對(duì)角化，如何找線性空間的一組基，使得線性變換的矩陣最簡(jiǎn)單。,200,Jordan形矩陣,201,例13,,,,,202,Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在性、唯一性,203,唯一性的證明思路,204,定理15,205,例14,206,例15,207,例16,208,分塊矩陣的最小多項(xiàng)式,

15、209,Jordan標(biāo)準(zhǔn)形與最小多項(xiàng)式,210,例17,211,例18,212,例19,213,例20,214,例21,215,存在性的證明思路,216,存在性的證明思路,217,存在性的證明思路,218,存在性的證明思路,219,存在性的證明思路,220,存在性的證明思路,221,存在性的證明思路,222,存在性的證明思路,223,第五節(jié) 特征值的分布,224,定理20,225,例22,226,K-區(qū),227,例23,228,定理21

16、,229,例24,230,譜半徑的估計(jì),231,例25,232,例26,233,應(yīng)　用,234,對(duì)角占優(yōu)矩陣,235,對(duì)角占優(yōu)矩陣,236,第四章,Hermite二次型,237,第一節(jié) H陣、正規(guī)陣,Hermite二次型與Hermite矩陣標(biāo)準(zhǔn)形慣性定理（唯一性）正定性,238,Hermite矩陣、 Hermite二次型,239,Hermite矩陣、 Hermite二次型,240,實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì),241,H陣的性質(zhì),242,正規(guī)

17、陣,243,上三角的正規(guī)陣,定理4：,244,定理5,245,推 論,246,例1,247,例2,248,第二節(jié) Hermite二次型,249,250,標(biāo)準(zhǔn)形,251,標(biāo)準(zhǔn)形,配方法（初等變換法）酉變換法：,252,慣性定理,253,慣性定理,254,慣性定理,255,規(guī)范形,256,共軛合同的充分必要條件,257,例3,258,正定性,259,如何建立判別方法,260,定理7,261,例4,262,例5,263,例6,264,其它

18、有定性,265,如何建立判別方法,266,定理8,267,例7,268,定理9（奇值分解）,269,奇值分解定理的證明,270,奇值分解定理的證明,271,奇值分解定理的證明,272,奇值分解定理的證明,273,第三節(jié) Rayleigh商,274,定理10,275,例8,276,定理11,277,定理12（Courant極大極小原理）,278,第五章,范數(shù)和矩陣函數(shù),279,本章的目的,矩陣函數(shù)范數(shù)矩陣函數(shù)的應(yīng)用,280,第一節(jié) 范

19、數(shù)的概念和例子,281,內(nèi)積與范數(shù),282,Cn中范數(shù)的例子,283,更多的例子,284,更多的例子,285,范數(shù)與極限,286,范數(shù)的可比較性,287,第二節(jié) 矩陣范數(shù),288,289,范數(shù)的相容性,290,定理2,291,算子范數(shù),292,算子范數(shù),293,定理3,294,定理4,295,例1,296,例2,297,例3,298,第三節(jié) 收斂定理,299,矩陣序列的收斂性,300,冪序列,301,譜半徑與范數(shù),302,矩陣冪級(jí)數(shù),3

20、03,矩陣冪級(jí)數(shù),304,第四節(jié) 矩陣函數(shù),305,幾個(gè)重要的矩陣函數(shù),306,利用定義計(jì)算,307,例5,308,Jordan形矩陣的函數(shù),309,Jordan形矩陣的函數(shù),310,Jordan塊的函數(shù),311,Jordan塊的函數(shù),312,Jordan塊的函數(shù),313,例6,314,利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形計(jì)算,315,例7,316,定理11,317,例8,318,待定系數(shù)法,319,待定系數(shù)法,320,例9,321,例10,322,

21、矩陣函數(shù)的性質(zhì),323,例11,324,例12,325,注,326,第四節(jié) 線性微分方程組,327,性質(zhì),328,常系數(shù)線性微分方程,329,常系數(shù)線性微分方程組,330,331,定理14,332,矩陣的廣義逆,第六章,333,本章目的,將“逆矩陣”推廣到一般情形廣義逆矩陣的計(jì)算廣義逆矩陣的性質(zhì)應(yīng)用：不相容線性方程組的求解,334,第一節(jié) 廣義逆矩陣的概念,1903年，F(xiàn)redholm，積分算子的廣義逆1920年，Moore，矩

22、陣的廣義逆1955年，Penrose，證明了唯一性 所以，在下面的矩陣的廣義逆的定義中的四個(gè)方程也稱為Moore- Penrose方程，簡(jiǎn)稱M-P方程。,335,廣義逆矩陣的定義,336,例1,337,定理1,338,例2,339,例3,340,例4,341,例5,342,例6,343,例6,344,例7,345,第二節(jié) 廣義逆矩陣的性質(zhì),346,定理2,,347,定理1（續(xù)）,348,例8,349,例9,350,定理3,3