數(shù)學(xué)系英文論文翻譯

1、冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)及其應(yīng)用冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)及其應(yīng)用在上一節(jié)中，我們討論了冪級(jí)數(shù)的收斂性，在其收斂域內(nèi)，冪級(jí)數(shù)總是收斂于一個(gè)和函數(shù)對(duì)于一些簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)，還可以借助逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分的方法，求出這個(gè)和函數(shù)本節(jié)將要討論另外一個(gè)問(wèn)題，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，能否將其展開(kāi)成一個(gè)冪級(jí)數(shù)，以及展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)是否以()fx為和函數(shù)下面的討論將解決這一問(wèn)題()fx一、馬克勞林(Maclaurin)公式冪級(jí)數(shù)實(shí)際上可以視為多項(xiàng)式的延伸，因此在考慮函數(shù)能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí)，可以

2、從函()fx數(shù)與多項(xiàng)式的關(guān)系入手來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題為此，這里不加證明地給出如下的公式()fx泰勒(Tayl)公式如果函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)，有直到階的導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)鄰()fx0xx?1n?域內(nèi)有如下公式：(9?5?1)()20000000()()()()()()()()()2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxrxn????????????…其中(1)10()()()(1)!nnnfrxxxn??????稱為拉格朗日型余項(xiàng)稱(9?5?1)

3、式為泰勒公式()nrx如果令，就得到00x?，(9?5?2)2()(0)()nnfxfxxxrx??????…此時(shí)，()(1)(1)111()()()(1)!(1)!nnnnnffxrxxxnn???????????01???稱(9?5?2)式為馬克勞林公式公式說(shuō)明，任一函數(shù)只要有直到階導(dǎo)數(shù)，就可等于某個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)的()fx1n?n和我們稱下列冪級(jí)數(shù)(9?5?3)()2(0)(0)()(0)(0)2!!nnfffxffxxxn?

4、????????……為馬克勞林級(jí)數(shù)那么，它是否以為和函數(shù)呢若令馬克勞林級(jí)數(shù)(9?5?3)的前項(xiàng)和為()fx1n?將它們代入(9?5?5)式，所得與的馬克勞林展開(kāi)式(9?5?4)完全相同()fx綜上所述，如果函數(shù)在包含零的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且在此區(qū)間內(nèi)的馬克勞林公式()fx中的余項(xiàng)以零為極限(當(dāng)時(shí))，那么，函數(shù)就可展開(kāi)成形如(9?5?4)式的冪級(jí)數(shù)n??()fx冪級(jí)數(shù)()00000()()()()()()1!!nnfxfxfxfxxx

5、xxn???????……稱為泰勒級(jí)數(shù)二、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式利用馬克勞林公式將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法，稱為直接展開(kāi)法()fx例1試將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)()xfxe?x解因?yàn)?)()nxfxe?(123)n?…所以，()(0)(0)(0)(0)1nffff???????…于是我們得到冪級(jí)數(shù)，(9?5?6)21112!!nxxxn?????……顯然，(9?5?6)式的收斂區(qū)間為，至于(9?5?6)式是否以為和函數(shù)，即它是()????()x