powerpoint template - 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

1、尋找最速降線,數(shù)學(xué)給我們一個用之不竭,充滿真理的寶庫,這些真理不是孤立的,而是以相互密切的關(guān)系并立著,而且隨著科學(xué)的每一成功進(jìn)展,我們會不斷發(fā)現(xiàn)這些真理之間的新的接觸點(diǎn). ── C.F.Gauss,數(shù)學(xué)既不嚴(yán)峻,也不遙遠(yuǎn),它和幾乎所有的人類活動有關(guān),又對每個真心對它感興趣的人有益. ── R.C.Buck,? 介紹一類最優(yōu)問題的求解新框架-變分方法,連續(xù),

2、多元函數(shù)極值,積分等,內(nèi)容提要,? 回顧微積分有關(guān)知識,? 復(fù)習(xí)微分方程的求解的解析與數(shù)值方法,? 最速降線求解的仿真方法,1696年John Bernoulli向他的兄長和其他,數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)性地提出了最速降線（捷線）問題:,一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在重力作用下從定點(diǎn)A,沿曲線下滑到定點(diǎn)B，,試確定一條曲線，使得質(zhì),點(diǎn)由A到B下滑時(shí)間最短.,假定B比A低，不計(jì)摩擦力,和其他阻力等因素.,? 此問題導(dǎo)致數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生.,背景故事,思考,這是一個

3、求最值的問題,? 與求函數(shù)的極值一樣嗎？,? 與求線性規(guī)劃問題中的極值一樣嗎？,? 它的數(shù)學(xué)形式怎樣？,歷史,1697年5月號“教師學(xué)報(bào)”接收了5篇解答報(bào)告,,貝努利? 約翰 Bernoulli,Johann,? 歐洲著名科學(xué)家族,? 涉獵 微積分、微分方程、解析幾 何、 概率論以及變分法,? 誰發(fā)現(xiàn) L’Hospital 法則,? 歐拉的指導(dǎo)者和老師,更貢獻(xiàn)于物理、化學(xué)和天文學(xué),? 瑞士的驕傲,問題數(shù)學(xué)形式,設(shè)曲

4、線為,滿足 y(0)=0, y(c)=H,,我們要求的是怎樣的函數(shù)y(x),下滑的時(shí)間},使得T(y) 取得最小值,minT(y),近似方法,如圖建立坐標(biāo)系,設(shè)A為原,點(diǎn), B為(c,H), 將帶狀區(qū)域,直線 y=yk=kH/n 把這區(qū)域,分成 n個帶狀小區(qū)域.,在帶狀域yk-1<y<yk ,可近似認(rèn)為,而曲線段近似認(rèn)為是直線段,其長度,0< y <H用平行于 x 軸的,? 求這個函數(shù)的極小值, 就得到問題的近

5、似解,(n -1元函數(shù)!),于是質(zhì)點(diǎn)從A到B所需時(shí)間近似為,? 可以使用數(shù)學(xué)軟件來求極值，但所得曲線為,離散形式，無解析表達(dá)式,,( 是已知的！),(為簡單計(jì),可取g =1000cm/s2),,令,可令,解出,故,求解極值數(shù)值方法,,令 為下列方程的解,再將 代入(*)式中，將 用曲線連接即得擬合最速降線，再求出時(shí)間 .,function m6_1(G,H,n) h=H/n;g=9.8;f=

6、1.0;a=0;b=2/(sqrt(2*g*(n-1)/n*H));c=(a+b)/2;i=1; while abs(f)>1e-10s=0;for j=1:nv=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c^2*v^2);endf=c-G/(h*s);if f>0b=c;else a=c;endc=(a+b)/2;i=i+1;endx(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt

7、(1.0-c*c*2*g*h);T=sqrt((x(1)-a)^2+h^2)/sqrt(2*g*h)for k=2:nv=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v);T=T+sqrt((x(k)-x(k-1))^2+h^2)/v;end plot(x,-(0.1:h:H),'*r'),利用數(shù)學(xué)軟件求近似最速降線和最短時(shí)間,利用數(shù)學(xué)軟件求解得到的曲線,再作

8、分析,質(zhì)點(diǎn)要走最快的路線(曲線)，應(yīng)該如何變化？,? 依然用從質(zhì)點(diǎn)速度變化的角度考慮,設(shè)質(zhì)點(diǎn)從A1經(jīng)直線 l 到達(dá)A2，質(zhì)點(diǎn)速度在l 的,上側(cè)為v1，下側(cè)為v2，則質(zhì)點(diǎn)如何運(yùn)動才最省時(shí)？,如圖,若A1,A2到l 的垂足分,為a, b, OD =c, 質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過l于C,別為O,D, A1,A2 到l的距離分別,OC =x 那么質(zhì)點(diǎn)由A1到A2需時(shí)間,惟一駐點(diǎn)滿足,也即,這就是光學(xué)中的 Snell 折射定律,,建立數(shù)學(xué)模型,分析：如圖建坐

9、標(biāo)系，,AB 分割成小段, 考慮在第k,層與k +1層質(zhì)點(diǎn)在曲線上的下,滑，依能量守恒律，可近似,認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)在每層內(nèi)的速度不,變，于是依輔助結(jié)論知,注意上式對任何k成立，,若用與x 軸平行的直線將,令平行線的間距趨于零，我們就得到在曲線,上任何一點(diǎn),其中? 為該點(diǎn)切線與鉛垂線,的夾角,故導(dǎo)出,,導(dǎo)出微分方程,又因,?,于是得到,一個引理,設(shè)集合E0={g(x)?C1 │g(a) =g(b)=0},如果在[a,b]連續(xù)函數(shù) f(x)滿足,,

10、那么,f (x) ? 0,對?g (x) ?E0 ，總有,另一種方法－變分法,設(shè)曲線為,滿足 y(0)=0, y(c)=H,在曲線上P(x,y）處質(zhì)點(diǎn)速度為,又設(shè)從A到P的弧長為s,則,,從而質(zhì)點(diǎn)沿曲線由A到B需時(shí)間,那么我們的問題成為,求某個,使得,引進(jìn)集合,顯然若,是最速曲線函數(shù),則,故得,,,設(shè)集合,那么對,依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,注意第二項(xiàng),,上式乘以,這里,,于是導(dǎo)出,注意從降線定義可知,故,1）可求解析解,解法,2）也可以用數(shù)值

11、方法，例如歐拉法求解,,得到方程為,由于在原點(diǎn)y = 0 ,可改寫方程,,? 求解析解提示：,解析解,function cycloid(G,H,n)if nargin==2 %兩個參數(shù)則默認(rèn)n為100 n=100;endg=9.8;h=H/n;minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n);x=0;y=0; while abs(G-x)>1e-4 x=0; c=(minc+max

12、c)/2; %二分法求c值 for j=1:n y=j*h; v=sqrt(2*g*y); x=x+c*v*h/sqrt(1-c^2*v^2); gx(j)=x; gy(j)=y; end,最速降線問題仿真方法Matlab程序,if x<G %判斷最后一個點(diǎn)與所給點(diǎn)的位置情況 minc=c;

13、 else maxc=c; endend T=0;for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h); if j==1 s=sqrt(gx(1)^2+h^2); else s=sqrt((gx(j)-gx(j-1))^2+h^2); end T=T+s/v;end plot(gx,-gy);Tend,取G=H=10，n

14、=100,實(shí)驗(yàn)任務(wù),1. 分別用數(shù)值方法和解析方法求出的最速降線,的曲線和下降時(shí)間,將兩種結(jié)果比較,2. 在一條直線 l 的上側(cè)有兩個點(diǎn)A,B,試找出一條從,A 到B的曲線,使得這曲線繞l 旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面,的面積最小.設(shè)直線l與點(diǎn)A,B在xy 平面，l為x軸，,A為(0,（e+e-1)/2), B為(3，(e2+e-2)/2),(設(shè)c=π/2, H=1),用曲線連接面上A(0,0,1), B(1,3,0)兩點(diǎn),求使得,AB 弧長最短