習題課 函數與極限 (2)

1、,二、 連續(xù)與間斷,,一、 函數,三、 極限,,習題課,函數與極限,第一章,,一、 函數,1. 函數的概念,定義:,,定義域,值域,圖形:,( 一般為曲線 ),,設,函數為特殊的映射:,其中,2. 函數的特性,有界性 ,,單調性 ,,奇偶性 ,,周期性,3. 反函數,設函數,為單射,,反函數為其逆映射,4. 復合函數,給定函數鏈,則復合函數為,5. 初等函數,有限個常數及基本初等函數,經有限次四則運算與復,復合而成的一個表達式的函數.,

2、例1. 設函數,,,,,求,解:,,思考與練習,1. 下列各組函數是否相同 ? 為什么?,相同,相同,2. 下列各種關系式表示的 y 是否為 x 的函數? 為什么?,不是,,,是,不是,提示: (2),二、 連續(xù)與間斷,1. 函數連續(xù)的等價形式,,,,,,,有,2. 函數間斷點,第一類間斷點,第二類間斷點,可去間斷點,跳躍間斷點,無窮間斷點,振蕩間斷點,,,,有界定理 ;,最值定理 ;,零點定理 ;,介值定理 .,3. 閉區(qū)間上連續(xù)函

3、數的性質,例3. 設函數,在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .,提示:,,有無窮間斷點,及可去間斷點,解:,為無窮間斷點,,所以,為可去間斷點 ,,極限存在,例4. 設函數,試確定常數 a 及 b .,,,,,例5. 設 f (x) 定義在區(qū)間,上 ,,, 若 f (x) 在,連續(xù),,提示:,且對任意實數,證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .,P73 題5,,,

4、,證:,P73 題5. 證明: 若,令,則給定,當,時,,有,又,根據有界性定理,,, 使,取,則,在,內連續(xù),,存在, 則,必在,內有界.,,,三、 極限,1. 極限定義的等價形式,(以 為例 ),(即 為無窮小),,有,2. 極限存在準則及極限運算法則,3. 無窮小,無窮小的性質 ;,無窮小的比較 ;,常用等價無窮小:,4. 兩個重要極限,6. 判斷極限不存在