振動與波習(xí)題課 2

1、振動與波習(xí)題課,,一、基本概念,1、振幅：振動物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。,2、周期：振動物體完成一次完整振動所需要的時間。,3、頻率：單位時間內(nèi)振動物體完成完整振動的次數(shù),4、相位：表示諧振動狀態(tài)的最重要的物理量,5、波長：振動相位相同的兩個相鄰波陣面之間的距離 是一個波長,6、波速：單位時間某種一定的振動狀態(tài)(或振動相位) 所傳播的距離稱為波速,7、平均能量密度：能量密度的平均值。,8、平

2、均能流密度：能流密度的平均值。,二、基本規(guī)律,1、簡諧振動的動力學(xué)方程,2、簡諧振動的運動方程,3、由初始條件確定,4、簡諧振動的能量,5、同方向、同頻率簡諧振動的合成：,6、一維簡諧波的波動方程：,7、波的干涉：頻率相同、振動方向相同、初位相差恒定。,,,8、駐波：,振幅、傳播速度都相同的兩列相干波，在同一直線上沿相反方向傳播時疊加而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象.,*9、多普勒效應(yīng)：,,三、基本題型,1、已知運動方程求相應(yīng)物理量。,2、會

3、證明簡諧振動的方法，并求出諧振動的周期。,3、已知一些條件給出諧振動的運動方程。,4、已知波動方程求相應(yīng)物理量。,5、已知一些條件給出波動方程。,6、能解決波的干涉問題。,1. 把一單擺從平衡位置拉開,使懸線與豎直方向成一小角度?,然后放手任其擺動,如果從放手時開始計算時間,此?角是否是振動的初相?單擺的角速度是否是振動的角頻率?,角是振幅，振動初相位為0,答：,振動的角頻率,單擺的角速度,單擺的角速度不是振動的角頻率.,2.

4、 把單擺從平衡位置拉開,使擺線與豎直方向成?角,然后放手任其振動,試判斷圖中所示五種運動狀態(tài)所對應(yīng)的相位.,5,它們所對應(yīng)的相位分別為:0, ?/2, ?, 3?/2, 2?.,要證明一系統(tǒng)作簡諧振動,須分析受力,看是否滿足簡諧振動的受力特征(或動力學(xué)方程).建立如圖(2)所示的坐標,設(shè)系統(tǒng)的平衡位置為原點,沿x軸物體受彈力和重力的分力.利用串聯(lián)時各彈簧受力相等,分析在任一位置時受力和位移關(guān)系.即可證.,分析,證: 設(shè)平衡時兩彈簧伸長分

5、別為x1 x2, 則由物體受力平衡,有,按圖所取坐標,原點取在平衡位置,物體沿x軸移動x時,兩彈簧與分別被拉伸 ,即,將(1)代入(2),得,考慮(3)與x的表達式,得,則物體作簡諧振動,頻率,對物體分析受力,有,(a),(b),(1)由結(jié)果可見,傾角θ與彈簧是否作簡諧運動及頻率無關(guān).彈簧無論水平、斜置還是豎直懸掛,物體均作簡諧運動.其頻率相同.固有頻率.(2)如振動系統(tǒng)并聯(lián)(a)或如圖(b)所示,

6、頻率均為,4. 一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅,(1)物體在正方向端點；(2)物體,在平衡位置、向負方向運動；(3)物體在,向負方向運動；(4)物體在,求以上各種情況的運動方程．,分析：要確定簡諧運動方程，在已知振幅、頻率的情況下，關(guān)鍵是 確定初相位，通常有兩種方法：1、解析法；2、旋轉(zhuǎn)矢量法。,(1)物體在正方向端點,(2)在平衡位置、向負方向運動,旋轉(zhuǎn)矢量法：分別畫出四個不同初始狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，,如圖所示，它們所對應(yīng)的

7、初相分別為：,則各相應(yīng)狀態(tài)下的運動方程為：,分析：寫出運動方程，首先確定振幅、頻率、初相位，曲線的最大副值即振幅,另外兩個量的通常求法：1、解析法，2、旋轉(zhuǎn)矢量法。而旋轉(zhuǎn)矢量法一般比較方便.,振動中常見的兩類問題,運動方程,振動曲線,,,由圖可見初相,知識點:,1.由振動曲線求運動方程;2. 應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法.,(3)由旋轉(zhuǎn)矢量圖可得,空盤振動系統(tǒng)由于下落物體的加入，振子質(zhì)量發(fā)生變化，則系統(tǒng)的周期發(fā)生變化，初始條件也發(fā)生變化。物體

8、落在盤中，與盤做完全非彈性碰撞,由動量守恒可確定共同初速度，這也是系統(tǒng)的初速度。但在確定初始時刻的位移時，應(yīng)注意新振動系統(tǒng)的平衡位置應(yīng)是盤和物體懸掛在彈簧上的平衡位置。因此，新振動系統(tǒng)的初始位移，就是空盤的平衡位置相對新系統(tǒng)平衡位置的位移。,6. 如圖所示．一勁度系數(shù)為A的輕彈簧．其下掛有一質(zhì)量為m1的空盤,現(xiàn)有一質(zhì)量為m2的物體從盤上方高為h處自由落到盤中．并和盤粘在一起振動,問： (1)此時的振動周期與空盤作振動的周期有何不同

9、? (2)此時的振幅為多大?,分析:,解:,（1）空盤時和物體落入盤中后的振動周期分別為：,（2）取新系統(tǒng)的平衡位置為坐標原點，初始位移為空盤時的平衡位置相對粘上物體后新系統(tǒng)平衡位置的位移。,可知: 即振動周期變大了.,由動量守恒,為物體下落至盤時的速度,位移,式中,空盤靜止時彈簧的伸長量,物體粘在盤上后靜止時彈簧的伸長量,關(guān)鍵：確定相對于新的平衡位置的初始位移,延伸： 用機械能守恒怎樣求？,諧振子系統(tǒng)的

10、周期，只與彈簧的勁度系數(shù)和振子的質(zhì)量有關(guān)，粘土下落后振子的質(zhì)量發(fā)生變化，周期也發(fā)生變化。粘土如何下落，不影響周期，粘土下落時將改變振動系統(tǒng)的初始狀態(tài)，因此對振幅有影響。,7. 如圖所示．勁度系數(shù)為k的輕彈簧，系一質(zhì)量為m1的物體,在水平面上作振幅 為A的簡諧運動．有一質(zhì)量為m2的粘土，從高度h處自由下落．正好在(a)物體通過平衡 位置時，(b)物體在最大位移處時．落在物體上. 分別求： (1)振動周期有何變化? (2)振幅有何變化?,分

11、析:,解：,（2）粘土下落后的兩種不同情況中，系統(tǒng)在水平方向的動量都守恒，機械能守恒。,（1）下落前的周期：,下落前后周期：,（a） ：平衡位置時，粘土落在物體前后，系統(tǒng)的振幅和速度分別為：,表明增加粘土后,物體的振幅變小了.,（b）：物體正好在最大位移時粘土落在物體上，由動量守恒知在水平方向共同速度為零,即初始條件與不落上時相同,因而振幅不變.,此題還可以根據(jù)公式 求

12、振幅，留作練習(xí)。,8. 如圖所示．一勁度系數(shù)為k＝3.12×102N·m-1的輕彈簧，一端固定,另一端連接一 質(zhì)量為m1 ＝0. 30 kg的物體A上,A放置在光滑的水平桌面上,物體A上再放置質(zhì)量為m 2 ＝0.20 kg的物體B．己知A、B間靜摩擦因數(shù)為0.50,求兩物體間無相對運動時,系統(tǒng)振動的 最大能量．,分析:,振動系統(tǒng)的總能量與振幅的平方成正比。為求A、B兩物體無相對運動時的最大能量，只需確定此條件下

13、的振幅，因最大加速度為,故根據(jù)A、B間的最大靜摩擦力求出 是確定振幅的關(guān)鍵,無相對滑動時，A、B兩物體參與振動的角頻率為,物體B在靜摩擦力作用下運動，由動力學(xué)方程得:,振動系統(tǒng)的最大能量為：,可得：,解：,9. 已知兩同方向、同頻率的簡諧運動的運動方程分別為x1 =(0.05m)cos[(10s-1 )t+0.75?]; x2=(0.06m)cos[(10s-1)t+0.25?]. 求： (1)合振動的振幅及初相： (

14、2)若有另一同方向、同頻率的簡諧運動 x3=(0.07m)cos[(10s-1)t+?3], 則?3 為多少時,x1+x3 的振幅最大?又?3 為多少時，x2+x3的振幅最小?,分析:,可采用解析法和旋轉(zhuǎn)矢量法求解：由旋轉(zhuǎn)矢量合成可知，兩個同方向、同頻率的簡諧運動的合成仍為一簡諧運動，其角頻率不變。合振動的振幅為 ：,其大小與兩個分振動的初相差（ ?2 - ?1 ）相關(guān)。,合振動的初相位為：,解：,兩個簡諧運動合成的旋轉(zhuǎn)矢量圖為：

15、,由于：,合振動的振幅：,合振動的初相位為：,（2）要使x1+x3 的振幅最大，則兩振動同相，即：,要使x2+x3的振幅最小，則兩振動反相，即：,10. 有兩個同方向、同頻率的簡諧運動，其合振動的振幅為0.20 m，合振動的相位與 第一個振動的相位差為?/6，若第一個振動的振幅為 0.173m．求第二個振動的振幅及兩振動的 相位差.,解：,采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖求解。,如圖：取第一個振動的旋轉(zhuǎn)矢量A1沿ox軸，即令其初相為零。則合振動的

16、旋轉(zhuǎn)矢量A與A1之間的夾角? = ?/6 。由矢量合成可得第二個振動的旋轉(zhuǎn)矢量的大?。凑穹?由于A 、A1 、A2 的量值恰好滿足勾股定理，故A1 、A2垂直，即：,11.機械波的波長,頻率,周期和波速四個量中,(1)在同一介質(zhì)中, 哪些量是不變的?(2)當波從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)時,那些量是不變的?,同一介質(zhì)中波速不變,設(shè)在一種介質(zhì)中,波長,頻率,周期和波速分別為?,?,T,u.,進入另一種介質(zhì)時,,頻率不變?,周期不變

17、T,波速變?yōu)閡1,波長變?yōu)?1= u1T.,12.判斷下面幾種說法,哪些是正確的,那些錯的?,(1)機械振動一定能產(chǎn)生機械波;,(2)質(zhì)點振動的速度是和波的傳播速度相等的;,(3)質(zhì)點振動的周期和波的周期數(shù)值是相等的;,(4)波動方程式中的坐標原點是選取在波源位置上的.,錯,機械振動在彈性介質(zhì)中傳播形成的波,叫機械波,錯,對,錯,13.波動的能量與哪些物理量有關(guān)?比較波動的能量與簡諧運動的能量.,從波的能量密度公式可知,波動的能量不但與

18、體積有關(guān),且與?,A,?,u.,波動的能量與簡諧運動的能量有顯著的不同,在簡諧運動系統(tǒng)中,動能和勢能有?/2的相位差,系統(tǒng)的機械能是守恒的.在波動中,動能和勢能的變化是同相位的,對任何體積元來說,系統(tǒng)的機械能是不守恒的.,14.波的干涉的產(chǎn)生條件是什么?若兩波源所發(fā)出的波的振動方向相同,頻率不同,則它們在空間疊加時,加強和減弱是否穩(wěn)定?,兩波的相干條件：,3）恒定的相位差,2）相同的振動方向,兩波源具有：,1）相同的頻率,頻率不同,就不

19、會有恒定的相位差,加強和減弱不會穩(wěn)定.,補充條件：強度相差不太大,15.在駐波的同一半波中,其各質(zhì)點振動的振幅是否相同?振動的頻率是否相同?相位是否相同?,振幅是不相同,振動的頻率相同,相位是相同.,習(xí)題,解:,(2)繩上的質(zhì)點振動速度,(3)t=1s和t=2s時的波形方程分別為,波形如圖,x=1.0m處質(zhì)點的運動方程,已知波動方程為,振動圖形如圖,波形圖表示某確定時刻波線上所有質(zhì)點的位移情況,振動圖表示某確定位置的一個質(zhì)點,其位移隨時

20、間變化的情況.,解:,18. 波源作簡諧運動,周期為0.02s,若該振動以100m.s-1的速度沿直線傳播,設(shè)t=0時,波源處的質(zhì)點經(jīng)平衡位置向正方向運動,求:(1)距波源15.0m和5.0m處質(zhì)點的運動方程和初相;(2)距波源分別為16.0m和17.0m的兩質(zhì)點間的相位差.,解:,(1)由題意知:T=0.02s,u=100m.s-1,可得,t=0時,波源處的質(zhì)點經(jīng)平衡位置向正方向運動,質(zhì)點的初相為,設(shè)波源為坐標原點,距波源15.

21、0m和5.0m處質(zhì)點的運動方程為,它們的初相分別為?10=-15.5?和?20=-5.5?,(2)距波源16.0m和17.0m的兩點間的相位差,?0=-?/2,解,波函數(shù)就是普適性的振動方程.,把x=75.0m代入向x軸正方向傳播時波動方程的一般形式與P點的振動方程進行比較,得:,(2)波向x軸負方向傳播時的波動方程;,把x=75.0m代入向x軸負方向傳播時波動方程的一般形式與P點的振動方程進行比較,得:,20.圖示為平面間諧波在t=0

22、時的波形圖,設(shè)此簡諧波的頻率為250Hz,且此時圖中點P的運動方向向上.求(1)該波的波動方程;(2)在距原點7.5m處質(zhì)點的運動方程與t=0時該點的振動速度.,解,確定坐標原點的振動初相?0,(1)由圖得:,,根據(jù)t=0點P的運動方向向上,可知波沿Ox軸負向傳播.,t=0時位于原點處的質(zhì)點將沿oy軸的負方向運動.,(2)在距原點7.5m處質(zhì)點的運動方程.,t=0時該點的振動速度,21. 平面簡諧波以波速u=0.50m.s-1沿x軸負

23、向傳播,t=2s時刻的波形如圖所示,求原點的運動方程.,解,確定坐標原點的振動初相?0,由圖得:,根據(jù)t=2s原點處質(zhì)點處于平衡位置且向上運動 ?=3?/2,,,原點的運動方程,,波形平移法,根據(jù)t=0原點處質(zhì)點處于平衡位置且向下運動,解法2,22.有一波在介質(zhì)中傳播,其波速u=1.0?103m.s-1,振幅A= 1.0?10-4m,頻率?= 1.0?103Hz,若介質(zhì)的密度為?= 8.0?102kg.m-3,求:(1)該波的能流密度;

24、(2)1min內(nèi)垂直通過4.0?10-4m2的總能量.,解,(1)能流密度I的表達式得,(2)1min內(nèi)垂直通過4.0?10-4m2的總能量,23.如圖所示,兩振動方向相同的平面簡諧波波源分別位于A,B點,設(shè)它們相位相同,且頻率?=30Hz,波速u=0.50m.s-1.求點P處兩列波的相位差.,解,點P處兩列波的波程差,相位差,24.如圖所示,兩相干波源分別在P,Q兩點,它們發(fā)出頻率為?,波長為?,初相相同的兩列相干波,設(shè)PQ=3?/2

25、,R為PQ連線上的一點.求（1）自P,Q發(fā)出的兩列波在R處的相位差；（2）兩波在R處干涉時的合振幅.,解,R處兩列波的相位差,合振幅,25.圖是干涉型消聲器結(jié)構(gòu)的原理圖,利用這一結(jié)構(gòu)可以消除噪聲,當發(fā)動機排氣噪聲聲波經(jīng)管道到達點A時,分成兩路而在點B相遇,聲波因干涉而相消。如果要消除頻率為300赫茲的噪聲，求圖中彎道與直管長度差,?r=r2-r1至少應(yīng)為多少?(設(shè)聲速為340m.s-1),解,聲波從點A分開到點B相遇,兩列波的波程差,兩

26、列波的相位差,由干涉相消條件,令k=0得?r至少應(yīng)為,26.一質(zhì)點在x軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點向右運動通過A點時作為計時起點( t = 0 )，經(jīng)過2秒后質(zhì)點第一次經(jīng)過B點，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點第二次經(jīng)過B點，若已知該質(zhì)點在A、B兩點具有相同的速率，且 AB= 10 cm 求： (1) 質(zhì)點的振動方程； （2）質(zhì)點在A點處的速率．,解:由旋轉(zhuǎn)矢量圖和 |vA| = |vB| 可知 T/2 = 4秒，,∴

27、 T = 8 s， ? = (1/8) s-1， ? = 2??= (?/4) s-1,,當t = 0 時，質(zhì)點在A點,m/s,27.一木板在水平面上作簡諧振動,振幅是12cm,在距平衡位置6cm處速度是24cm/s。如果一小物塊置于振動木板上,由于靜磨擦力的作用,小物塊和木板一起運動(振動頻率不變),當木板運動到最大位移處時,物塊正好開始在木板上滑動,問物塊與木板之間的靜摩

28、擦系數(shù)μ為多少?,解：設(shè)振動方程為,28.如圖所示，質(zhì)量M 的籠子，用輕彈簧懸掛起來，彈簧的倔強系數(shù)為k,初始靜止在平衡位置。今有 m的油灰由距離籠底高h 處自由落到籠底上，求籠子的振動方程．,解：物理過程,（1）m剛要與M碰撞時的速度為：,（2）m、M在碰撞過程中，滿足動量守恒,（3）選取坐標如圖,29. 兩個完全相同的輪相向高速旋轉(zhuǎn)，軸在同一平面上，間距d=10cm，板與輪間的摩擦系數(shù)μ=0.25，（1）求證：此振動為簡諧振動；

29、（2）求出該振動的振動周期。,30.如圖所示，兩相干波源S1和S2的距離為d =30m，S1和S2都在x 坐標軸上，S1位于坐標原點O,設(shè)由S1和S2分別發(fā)出的兩列波沿x軸傳播時，強度保持不變.x1 = 9m和x2 = 12m 處的兩點是相鄰的兩個因干涉而靜止的點，求:兩波的波長。,由題中已知條件,31. 如圖所示，原點O是波源，振動方向垂直于紙面，波長是?，AB為波的反射平面，反射時無半波損失。O點位于A點的正上方，AO = h，Ox

30、軸平行于AB，求Ox軸上干涉加強點的坐標（限于x ≥0),x,解：沿ox 軸傳播的波與從AB面上P點反射來的波在坐標x處相遇，兩波的波程差為：,（當x=0時由4h2-k2?2=0可得k=2h/?..),32. 振幅為A，頻率為?，波長為?的一簡諧波沿弦線傳播，在自由端A點反射（如圖），假設(shè)反射后的波不衰減，已知：OA = 7 ? /8，OB = ? /2，在t = 0時，x = 0處媒質(zhì)質(zhì)元的合振動經(jīng)平衡位置向負方向運動。求B點處入射

31、波和反射波的合成振動方程。,解：設(shè)入射波的表達式為,則反射波的表達式為,駐波的表達式為,B點(x=?/2)的振動方程為(其中l(wèi)= OA = 7 ? /8) :,33.如圖所示為一平面簡諧波在t=2s時刻的波形圖求（1）波動方程 （2）P點處質(zhì)點的振動方程,（已知A、u、?）,解：設(shè)原點處質(zhì)點的振動方程為,t=2s時O點位相,波動方程,,（2）P點振動方程,34.如圖有一平面簡諧波在空間傳播，已知P點的振動方程為,（1）分別就圖中