高考微專題函數(shù)轉(zhuǎn)化過程中定義的失真

1、第1頁高考微專題高考微專題—函數(shù)轉(zhuǎn)化過程中定義的失真函數(shù)轉(zhuǎn)化過程中定義的失真蓮塘一中李樹森導(dǎo)數(shù)的主要功效是刻畫函數(shù)的單調(diào)性，但有時函數(shù)在轉(zhuǎn)化過程中定義會失真，即新函數(shù)生成間斷點，這時研究函數(shù)圖象要特別嚴(yán)謹(jǐn)對待。如函數(shù)零點個數(shù)討論過程可以先分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化研究兩個曲線交點個數(shù)問題，但轉(zhuǎn)化的新函數(shù)有時出現(xiàn)定義失真現(xiàn)象，在我們用導(dǎo)數(shù)畫新函數(shù)草圖過程中會出現(xiàn)沒有關(guān)注新間斷點而做圖不準(zhǔn)導(dǎo)致出錯。【例題】已知函數(shù)有唯一零點求實數(shù)的取值范圍2()22l

2、nfxxaxax???a【過程分析】第一感覺直接求導(dǎo)入手，（），再分析導(dǎo)函數(shù)分22()222axaxafxxaxx??????0x?子，討論二次函數(shù)有無零點（要考慮在與函數(shù)極限）、有零點2()uxxaxa???()ux0x??x??（要考慮取點判斷函數(shù)值正負(fù)，較難），加上分類討論又是學(xué)生痛點，學(xué)生很難達到目標(biāo)。這時聰明的學(xué)生碰壁后就會考慮轉(zhuǎn)化為研究方程的根個數(shù)，再分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)來判斷原函數(shù)零點。解決問題需要的理論支撐：對于連

3、續(xù)函數(shù)在上零點個數(shù)等價于方程()()()fxgxhx??0[)x??在上解的個數(shù)，也等價于與在上交點的個數(shù)；()()gxhx?0[)x??1()ygx?2()yhx?0[)x??【解析】方法一：函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一實根，22lnxaxx?（）當(dāng)，此時，此時方程無實根，（不合題意）00ln0xx??0(01)x?當(dāng)，此時，此時轉(zhuǎn)化為00ln0xx??00(0)xxx???，（，）22lnxaxx?令，，則2(

4、)lnxgxxx?00(0)xxx???，（，）2(2ln1)()(ln)xxxgxxx???’再令，，則，且有()2ln1hxxx???00(0)xxx???，（，）2()10hxx???‘(1)0h?（學(xué)生這時容易忽略失真定義，會得錯解：在時，，得在單調(diào)遞減；(01)x?，()0gx?’()gx(01)x?，當(dāng)時，，得在單調(diào)遞增；且(1)x??，()0gx?’()gx(1)x??，min()(1)1gxg??所以:當(dāng)即時曲線有唯一交

5、點即原函數(shù)有唯一零點)21a?12a?實際上，函數(shù)含有生成的間斷點因此函數(shù)在處兩側(cè)的單調(diào)性要分開討論:()gx0(01)x?0xx?因此正解為：當(dāng)、時，，得在、遞減；0(0)xx?，0(1)x，()0gx?’()gx0(0)xx?，0(1)x，當(dāng)時，，得在單調(diào)遞增；(1)x??，()0gx?’()gx(1)x??，且時，；0x??()0gx?時，；0xx??()gx??時，；0xx??()gx???時，；x??()gx??第2頁且，得到

6、函數(shù)大致圖象(1)1g?根據(jù)數(shù)形結(jié)合，得實數(shù)的范圍是或a0a?12a?【評析】通過此題的錯解和正解的比較，發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易忽略新構(gòu)造函數(shù)生成間斷點，在此點兩側(cè)的()gx單調(diào)性一定要記住必須分開討論。學(xué)生往往前面討論了間斷點，后續(xù)沒有深入研究函數(shù)圖像，思想上“想當(dāng)然了”，導(dǎo)致原函數(shù)圖像并未討論清楚就匆匆下結(jié)論，正好走進了新生成的間斷點認(rèn)識的誤區(qū)。方法二：將對數(shù)函數(shù)放入分子優(yōu)化構(gòu)造函數(shù)，從而避開間斷點。問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一實根，當(dāng)時，得，但這不

7、是原函數(shù)零點（不合）22lnxaxx?（）0a?0x?當(dāng)時，即（），也即左右兩個函數(shù)有唯一交點0a?21ln2xxax?0x?令，得2ln()xxkxxx???(0)2431(1)2(ln)12ln()xxxxxxxkxxx???????再令，得（），()12lnrxxx???2()10rxx????0x?在上單調(diào)遞增，且()12lnrxxx???(0)??(1)0r?所以當(dāng)時，即單調(diào)遞增；(01)x?()0rx?()0kx2ln()x

8、xkxx??當(dāng)時，即單調(diào)遞減；(1)x??()0rx?()0kx2ln()xxkxx??又時，；時，0x??()kx???1x?()0kx?時，；且，得到函數(shù)大致圖象x??()0kx?(1)1k?根據(jù)數(shù)形結(jié)合，得實數(shù)的范圍是或a0a?12a?【評述】我們在化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造新函數(shù)時要關(guān)注一些原則：（1）指數(shù)、對數(shù)混合，優(yōu)先指、對數(shù)分離；（2）構(gòu)造新函數(shù)盡可能讓分母結(jié)構(gòu)簡單，指數(shù)、對數(shù)盡可能放在新函數(shù)分母位置；（3）轉(zhuǎn)化過程中盡可能避免定義的