第五天(不等式)

1、不等式一不等式的性質(zhì)：1同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若abcd??，則acbd???（若abcd??，則acbd???），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若00abcd????，則acbd?（若00abcd????，則abcd?）；3左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方：若0ab??，則nnab?或nnab?；4若0ab?，a

2、b?，則11ab?；若0ab?，ab?，則11ab?。二不等式大小比較的常用方法：1作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；2作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性；7尋找中間量或放縮法；8圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。三.需要記憶的常用不等式有：（1）2222211abababab??????(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)；（2）a、b

3、、c?R，222abcabbcca?????（當(dāng)且僅當(dāng)abc??時(shí)，取等號(hào)）；（3）若00abm???，則bbmaam???（糖水的濃度問(wèn)題）。四證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過(guò)分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：211111111(1)(1)1nnnnnnnnn??????????五、常用不等式：五、常用不等式：（1）(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅

4、當(dāng)a＝b時(shí)取時(shí)取“=”“=”號(hào))abR??222abab??（2）(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取時(shí)取“=”“=”號(hào))abR???2abab??（3）3333(000).abcabcabc??????（4）柯西不等式）柯西不等式22222()()().abcdacbdabcdR?????（5）.bababa?????例題1、已知二次函數(shù)滿足，，求2()(0)fxaxbxa???1(1)2f???2(1)5f??的取值范圍。(3)f?不等式式

5、的解集。1log()0axx??錯(cuò)解：2111515log()011022axxxxxxx??????????????正解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以，故x1xa???0xx?1a?或1011115log()012xxaxxxxx???????????????1512x???原不等式的解集是。?1515(1)(1)22????剖析：其一、忽視了所給條件的應(yīng)用和對(duì)數(shù)的真數(shù)大于，其二、忽視了分式不等式正確0解法。例題5、已知：、都是正數(shù)

6、，且，，，求的最小ab1ab??1aa???1bb??????值。錯(cuò)解：、都是正數(shù)，?ab?21212121??????????bbbbaaaa??，即的最小值為4。?11224abab?????????????正解：、都是正數(shù)，且，?ab1ab???211()424ababab??????1111()()1abababababab??????????????115ab???當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為。?12ab?????5剖析：中等號(hào)成立

7、的條件是當(dāng)且僅當(dāng)，而2121?????aaaa?1a?中等號(hào)成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)。這與矛盾，2121?????bbbb?1b?1ab??因此解題中忽視了條件，從而造成錯(cuò)誤。1ab??總結(jié)：不等式證明的錯(cuò)解的成因及分析策略總結(jié)：不等式證明的錯(cuò)解的成因及分析策略不等式的證明方法有很多如:基本不等式法、比較法、綜合法、分析法、反證法、判別式法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、導(dǎo)數(shù)法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、數(shù)形結(jié)合法等等.不等式