馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣模型

1、馬爾柯夫轉(zhuǎn)移矩陣法馬爾柯夫轉(zhuǎn)移矩陣法馬爾柯夫過程和風(fēng)險估計由于風(fēng)險過程常常伴隨一定的隨機(jī)過程，而在隨機(jī)過程理論中的一種重要模型就是馬爾柯夫過程模型。馬爾柯夫轉(zhuǎn)移矩陣法馬爾柯夫預(yù)測法馬爾柯夫預(yù)測以俄國數(shù)學(xué)家A.A.Markov名字命名，是利用狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測事件發(fā)生的狀態(tài)及其發(fā)展變化趨勢，也是一種隨時間序列分析法。它基于馬爾柯夫鏈，根據(jù)事件的目前狀況預(yù)測其將來各個時刻（或時期）的變動狀況。1.馬爾柯夫鏈。狀態(tài)是指某一事件在某個時刻

2、（或時期）出現(xiàn)的某種結(jié)果。事件的發(fā)展，從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。在事件的發(fā)展過程中，若每次狀態(tài)的轉(zhuǎn)移都僅與前一時刻的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)，或者說狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程是無后效性的，則這樣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程就稱為馬爾柯夫過程。馬爾柯夫鏈?zhǔn)菂?shù)t只取離散值的馬爾柯夫過程。2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。在事件發(fā)展變化的過程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，下以時刻轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的可能性，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，只用統(tǒng)計特性描述隨機(jī)過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。若事物有

3、n中狀態(tài)，則從一種狀態(tài)開始相應(yīng)就有n個狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，即。將事物n個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率一次排列，可以得到一個n行n列的矩陣：3.馬爾柯夫預(yù)測模型。一次轉(zhuǎn)移概率的預(yù)測方程為：式中：K——第K個時刻；S（K）——第K個時刻的狀態(tài)預(yù)測；S（0）——對象的初始狀態(tài)；P——一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。應(yīng)用馬爾柯夫預(yù)測法的基本要求是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣必須具有一定的穩(wěn)定性開機(jī)狀態(tài)不正常正常正常不正常正常不正常不正常不正常常不正常常不正常不正常正常正常不正常正常不正常不

4、正常正常正常不正常正常狀態(tài)取值21121222121221121221121由此產(chǎn)生出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：這種依據(jù)初始狀態(tài)的結(jié)果，利用固定的轉(zhuǎn)移概率推算出下次結(jié)果的過程稱為一階馬爾柯夫過程，依此類推有二階、……乃至n階馬爾柯夫過程。這一連串的轉(zhuǎn)移過程就是馬爾柯夫鏈。n階馬爾柯夫過程的結(jié)果概率向量等于最初結(jié)果概率向量乘以轉(zhuǎn)移概率的n次冪：轉(zhuǎn)移概率矩陣P為：顯然，第24次開機(jī)狀態(tài)就是下一輪統(tǒng)計的初始狀態(tài)，假設(shè)第24次統(tǒng)計為開機(jī)正常狀態(tài)，正常狀

5、態(tài)取值k＝1，不正常狀態(tài)取值k＝2；則＝1（概率為1），＝0（概率為0）。所以，第25次統(tǒng)計狀態(tài)為：第26次統(tǒng)計狀態(tài)為：以此類推，……；在轉(zhuǎn)移概率固定不變的條件下，當(dāng)轉(zhuǎn)移次數(shù)n足夠大時，統(tǒng)計結(jié)果概率向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)n繼續(xù)增大時，穩(wěn)定的概率向量基本保持不變，顯然在漸進(jìn)過程中穩(wěn)定的概率向量取決于固定的轉(zhuǎn)移概率而與初始概率向量大小無關(guān)。示例中固定的轉(zhuǎn)移概率大小源于該雷達(dá)研制和生產(chǎn)過程的可靠性。由此可求出穩(wěn)定的概率向量：設(shè)S（∞）＝（x1，

6、x2），則有根據(jù)矩陣乘法規(guī)則可得到下列聯(lián)立方程組：求解得：x1＝0.49，x2＝0.51。S（∞）＝（0.49，0.51）。也就是說，該雷達(dá)由于可靠性決定了它的每次開機(jī)狀態(tài)平均正常狀態(tài)（k＝1）的概率為0.49，不正常狀態(tài)（k＝2）的概率為0.51。示例中給出的初始概率向量為S（0）＝（1，0）這一特殊情況，若其向量概率值是介于0～1之間值時，初始概率向量將決定統(tǒng)計過程的最小次數(shù)，因為S（0）決定了馬爾柯夫過程中達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)的速度。