8,9 知識小結(11)

1、1第八、九章第八、九章知識小結知識小結一內積一內積１.定義:為上線性空間，上定義運算（）:，V@VxyzV??k??@定義（xy），滿足?@（１）對稱性()()xyyx?（２）線性性，()()()xyzxzyz???()()kxykxy?（３）非負性，且等號成立當且僅當時.()0xx?0x?稱為內積空間當時，稱為歐氏空間歐氏空間VdimVn????以下討論僅限于歐氏空間，即均設以下討論僅限于歐氏空間，即均設V為n維歐氏空間維歐氏空間，，

2、.||()xxx?()||dxyxy??()cos||||xyxy??注：在，定義內積，即為典型的標準內積空間.n@()Txyxy?２.幾個不等式Cauchy－Schwarz不等式：等號成立當且僅當xy線性相關()||||xyxy?三角不等式：等號成立當且僅當xy夾角為０||||||xyxy???勾股定理：當且僅當，即xy正交，或xy＂垂222||||||xyxy???()0xy?直＂或時.xy?二正交向量組二正交向量組1.定義：非零向

3、量組，滿足1mV????()0ijij????2.性質：是非零正交向量組，必是線性無關組；反之，任一線性無關組1m???均可經過Scht正交化為與之等價的正交向量組.三標準正交基三標準正交基１.定義：是一個基，滿足，1nV????1()0ijij????????ijij??12ijn??２.在標準正交基下，向量的運算被簡化：11221()()()()nnnxxxxX???????????????3五歐氏空間同構五歐氏空間同構1.歐氏空間

4、V，W的同構:存在V，W的可逆線性映射使得對任意，?xyV?稱V，W歐氏空間同構，為歐氏空間的同構映射(()())()xyxy????2.等價命題：V，W為n維歐氏空間，.下列命題等價：()LVW??(1)保持內積?(2)保持長度；?(3)保持距離；?(4)是歐氏空間同構；?(5)將V的任一標準正交基變?yōu)閃的標準正交基；?(6)將V的某一標準正交基變?yōu)閃的標準正交基；?(7)在VW的任一標準正交基下的表示矩陣為正交陣?(8)在VW的某一

5、標準正交基下的表示矩陣為正交陣?３.歐氏空間VW同構.（與內積定義無關）?dimdimVW?４.＂模型＂:任一n維歐氏空間V必同構于標準內積空間.n@六正交變換與正交陣六正交變換與正交陣1.定義：若則稱為的正交變換()LV??xyV??(()())()xyxy????V若或則稱為正交陣nnQ??@TQQE?1TQQ??Q２.矩陣刻畫:是V的標準正交基，則為1n???11()()nnQ????????Q正交陣因此，任一正交陣Q可視為某一正