高中數(shù)學推理與證明

1、第1頁共11頁推理與證明推理與證明要點要點1：合情推理：合情推理例1：（20102010福建高考文科Ｔ１６）福建高考文科Ｔ１６）觀察下列等式：①cos2a=22cosa1②cos4a=84cosa82cosa1③cos6a=326cosa484cosa182cosa1④cos8a=1288cosa2566cosa1604cosa322cosa1⑤cos10a=m10cosa12808cosa11206cosan4cosap2cosa1.

2、可以推測，m–np=.【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項的系數(shù)和為1，m12801120np11???????，mnp162????，又9p10550m2512?????，n400???，mnp962????【答案】962要點要點2：演繹推理：演繹推理例2：（：（20102010浙江高考理科Ｔ浙江高考理科Ｔ1414）設112(2)(3)23nnnnNxx?????2012nnaaxaxax????????，將(0)kakn??的最小值記為

3、nT，則234533551111002323nTTTTT????????????其中nT=__________________.【規(guī)范解答】觀察nT表達式的特點可以看出2400TT??，……，?當n為偶數(shù)時，0nT?；3331123T??，5551123T??，……，?當n為奇數(shù)時，1123nnnT??【答案】01123nnnnTn???????當為偶數(shù)時當為奇數(shù)時要點要點3：直接證明與間接證明：直接證明與間接證明例3：（：（20102

4、010北京高考文科Ｔ北京高考文科Ｔ2020）已知集合)2(2110)(21?????nnixxxxXXSinn??對于12(...)nAaaa?，12()nnBbbbS??…，定義A與B的差為1122(||||||)nnABababab?????…A與B之間的距離為????niiibaBAd1)(（Ⅰ）當n=5時，設(01001)(11100)AB??，求AB?，()dAB；（Ⅱ）證明：nnABCSABS????有，且()()dACBC

5、dAB???(Ⅲ)證明：()()()nABCSdABdACdBC??三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)【思路點撥】（I）（Ⅱ）直接按定義證明即可；(Ⅲ)“至少”問題可采用反證法證明第3頁共11頁②假設當nk?時不等式成立即12121113572112462kkbbbkkbbbk??????????成立.則當1nk??時左邊=11212111113572123246222kkkkbbbbkkbbbbkk????????????????2223(23

6、)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk??????????????????????所以當1nk??時不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.注：注：（1）用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的一些等式，命題關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由n=k到n=k1時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。（2）在本例證明過程中，①考慮“n取第

7、一個值的命題形式”時，需認真對待，一般情況是把第一個值供稿通項，判斷命題的真假，②在由n=k到n=k1的遞推過程中，必須用歸納假設，不用歸納假設的證明就不是數(shù)學歸納法。（3）在用數(shù)學歸納法證明的第2個步驟中，突出了兩個湊字，一“湊”假設，二“湊”結論，關鍵是明確n=k1時證明的目標，充分考慮由n=k到n=k1時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。【高考真題探究】【高考真題探究】1（20102010山東高考文科Ｔ１０）山東高考文科Ｔ１０）觀察2(

8、)2xx?，43()4xx?，(cos)sinxx??，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)()fx滿足()()fxfx??，記()gx為()fx的導函數(shù)，則()gx?=（）（A）()fx(B)()fx?(C)()gx(D)()gx?【規(guī)范解答】選D通過觀察所給的結論可知，若()fx是偶函數(shù)，則導函數(shù)()gx是奇函數(shù)，故選D2（20102010陜西高考理科Ｔ１２）陜西高考理科Ｔ１２）觀察下列等式：332123??33321236???33

9、332123410????……，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為____________.【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關系如下：1231236123410?????????即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)。故第五個等式為：33333322123456(123456)21.????????????【答案】333333212345621.??????3（20102010北京高考理科Ｔ北京高考理科Ｔ2020）已知集合)2

10、(2110)(21?????nnixxxxXXSinn??對于12(...)nAaaa?，12()nnBbbbS??…，定義A與B的差為1122(||||||)nnABababab?????…A與B之間的距離為????niiibaBAd1)(；（Ⅰ）證明：nnABCSABS????有，且()()dACBCdAB???（Ⅱ）證明：()()()nABCSdABdACdBC??三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)(Ⅲ)設PnS?，P中有m(m≥2)個元素