第九章-重積分

1、1第九章重積分一、基礎題:1設其中；又12231()DIxyd?????1()|1122Dxyxy???????其中試利用二重積分的幾何意義說22232()DIxyd?????2()|0102Dxyxy?????明與之間的關系1I2I解由二重積分的幾何意義知，表示底為、頂為曲面的曲頂柱體1I1D223()zxy??的體積；表示底為、頂為曲面的曲頂柱體的體積（圖91）由1?2I2D223()zxy??2?于位于上方的曲面關于面和面均對稱，

2、故面和面將1D223()zxy??yOzzOxyOzzOx分成四個等積的部分，其中位于第一卦限的部分既為由此可知1?2?124II?2設積分區(qū)域D由圓所圍成22(2)(1)1xy????且()kkDIxydxdy????(123)k?試討論的大小關系.1I2I3I圖91解因為當時因此()xyD?13x??05y??故有由15xy???231()()()xyxyxy??????二重積分的保號性便得1I2I3I３利用二重積分的性質估計下列積

3、分的值(1).其中；()DIxyxyd?????()|0101Dxyxy?????(2)，(其中)22(49)DIxyd??????22()|4Dxyxy???解(1)在積分區(qū)域上，，從而，又的面積D0101xy????0()2xyxy???D等于1，因此0()2Dxyxyd??????（２）因為在積分區(qū)域上有，所以有D224xy??，又的面積等于，因此22229494()925xyxy???????D4?2236(49)100Dxyd

4、?????????４證明不等式221(cossin)2Dyxd??????其中：D01x??01y??證由對稱性知22coscosDDydxd???????于是====22(cossin)Dyxd????22(cossin)Dxxd????22sin()4Dxd?????由于所以因此01x??22sin()124x????37證明=()00()aymaxdyefxdx???()0()()amaxaxefxdx???證左邊===()00(

5、)aymaxdxefxdy???()0()()axamaxefxydx???()0()()amaxaxefxdx???=右邊.８已知D是由圓周所圍成的閉區(qū)域用極坐標計算積分224xy??22xyDed????解在極坐標系中，積分區(qū)域，()|0202D??????????于是，22xyDed?????22402[](1)2ee??????A９化二重積分為二次積分其中積分區(qū)域D是:()DIfxyd????(1)由直線及拋物線所圍成的區(qū)域yx

6、?24yx?(2)由直線及雙曲線所圍成的閉區(qū)域yx?2x?1yx?解(1)直線及拋物線的交點為和于是yx?24yx?(00)(44)=()DIfxyd????440()xxdxfxydy??或2404()yyIdyfxydx???(2)三條邊界兩兩相交先求得3個交點為(11)、(2)、(22).于是12211()xxIdxfxydy???或.12221112()()yyIdyfxydxdyfxydx??????1０利用極坐標計算下列各題

7、：（1），其中D是由圓周及坐標軸所圍成的在第一象限22ln(1)Dxyd?????221xy??內的閉區(qū)域；（2），其中D是由圓周，及直線，arctydx???224xy??221xy??0y?所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域yx?解（1）在極坐標系中，積分區(qū)域，()|0102D??????????于是，=22ln(1)Dxyd?????122200ln(1)ln(1)Ddddd?????????????????12201ln(1)(1)2