高等數(shù)學與高考題

1、1例說高考題的高等數(shù)學背景黃婷黃婷數(shù)學科學學院2008（3）班08211315號[摘要]本文把初等數(shù)學與高等數(shù)學聯(lián)系起來，從數(shù)學分析、高等代數(shù)、抽象代數(shù)、常微分方程、概率論、初等數(shù)學研究六方面來看某些高考題的問題，理論聯(lián)系實際地談了高等數(shù)學在高考題研究與教學中的指導作用本文的主要任務是在現(xiàn)代數(shù)學的觀點下，溝通高等數(shù)學與高考題的聯(lián)系。它的內容主要有三個方面：一是將現(xiàn)代數(shù)學的思想和方法滲透到高考中去；二是用具體材料來說明高等數(shù)學對高考題的指

2、導意義；三是指出高考題中某些難以處理的問題的高等數(shù)學背景。[關鍵詞]數(shù)學分析高等代數(shù)抽象代數(shù)常微分方程概率論初等數(shù)學研究高考題1、用數(shù)學分析的觀點看高考題中的部分問題1、1用數(shù)列的極限解決部分問題??1數(shù)列極限的定義：設為數(shù)列，為定數(shù)。若對任??N????naa給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當時有，?NnN?naa???則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作??naaa??na，或。limnnaa?????naan???例1已知不等式

3、，其中為大于??21111log232nn?????n2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)。設數(shù)列的各??2logn2logn??na項均為正，且滿足，??10abb??11234nnnnaanna??????3的即可。于是有，，即??221log5n?n??22loglog10nn??，故取，對任意的滿足。1021024n??1024N?nN?15na?1、2用函數(shù)圖象的凹凸性解決部分問題定義：設為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點fII

4、和任意的實數(shù)總有12xx??01??，則稱為上的凸函??????????121211fxxfxfx?????????fI數(shù)。反之，如果總有，??????????121211fxxfxfx?????????稱為上的凹函數(shù)。fI定理：設為定義在區(qū)間上的二階可導函數(shù)，則在上fIIf為凸函數(shù)（凹函數(shù)）的充要條件是。??????00fxfxxI???????凸函數(shù)與凹函數(shù)的幾何形狀a()凸凸凸CBAxx2x1yxOb()凸凸凸CBAxx2x1yx