三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

1、1三角形“四心三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用向量形式的充要條件應(yīng)用1O是ABC?的重心的重心?0OCOBOA???若O是ABC?的重心，則的重心，則ABCAOBAOCBOCS31SSS???????故0OCOBOA???為的重心的重心.1()3PGPAPBPC????????????????????GABC?2O是ABC?的垂心的垂心?OAOCOCOBOBOA?????若O是ABC?(非直角三角形非直角三角形)的垂心，則的垂心，則

2、CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：：????故0OCCtanOBBtanOAAtan???3O是ABC?的外心的外心?|OC||OB||OA|??(或222OCOBOA??)若O是ABC?的外心則的外心則C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC????????：：：：故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin???4O是內(nèi)心是內(nèi)心ABC?的充要條件是的充要條件

3、是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA?????????引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記CABCAB的單位向量為的單位向量為321eee，則剛才，則剛才O是ABC?內(nèi)心的充要條件可以寫(xiě)成內(nèi)心的充要條件可以寫(xiě)成0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131?????????，O是ABC?內(nèi)心的充要條件也可以是內(nèi)心的充要條件也可以是0O

4、CcOBbOAa???。若。若O是ABC?的內(nèi)心，則的內(nèi)心，則cbaSSSAOBAOCBOC：：：：????故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa??????或是的內(nèi)心的內(nèi)心||||||0ABPCBCPACAPBP?????????????????????????????ABC?向量向量所在直線過(guò)所在直線過(guò)的內(nèi)心的內(nèi)心(是的角平的角平()(0)||||ACABABAC????????????????????ABC?

5、BAC?分線所在直線分線所在直線)；(一)將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1O是平面上的一定點(diǎn)，是平面上的一定點(diǎn)，ABCABC是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足，則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（的（）)(ACACABABOAOP?????????0?ABC?（A）外心（）外心（B）內(nèi)心（）內(nèi)心（C）重心（）重心（D）垂心）垂心解析：因?yàn)榻馕觯阂驗(yàn)槭窍蛄渴窍蛄康膯挝幌蛄?/p>

6、設(shè)的單位向量設(shè)與方向上的單位向量分別為方向上的單位向量分別為，又ABABAB????AB????AC????21ee和ACBC1eC2eP3AB(x10)C(x2y2)yxHQGDEF，由平行四邊形性質(zhì)知，由平行四邊形性質(zhì)知，，同理可證其它兩邊上的這個(gè)性，同理可證其它兩邊上的這個(gè)性O(shè)BOCOD??????????????12OEOD?????????2OAOE?質(zhì)，所以是重心，選質(zhì)，所以是重心，選D。(四)將平面向量與三角形外心結(jié)合考查

7、將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若為內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，，則，則是的（的（）OABC?OAOBOC??????????????OABC?A內(nèi)心內(nèi)心B外心外心C垂心垂心D重心重心解析：由向量模的定義知解析：由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等。故的三頂點(diǎn)距離相等。故是的外心的外心，選，選B。OABC?OABC?(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考查將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8已知向量已知向量，，滿足條件滿足條件=0=0，||=||=||=

8、||=||=1|=1，1OP2OP3OP1OP2OP3OP1OP2OP3OP求證求證△P1P2P3是正三角形是正三角形.（《數(shù)學(xué)》第一冊(cè)（下）（《數(shù)學(xué)》第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五，復(fù)習(xí)參考題五B組第組第6題）題）證明證明由已知由已知==，兩邊平方得，兩邊平方得=，1OP2OP3OP1OP2OP21?同理同理==，2OP3OP3OP1OP21?∴||=||=||=||=||=|=，從而△，從而△P1P2P3是正三角形是正三角形.21PP3

9、2PP13PP3反之，若點(diǎn)反之，若點(diǎn)O是正三角形△是正三角形△P1P2P3的中心，則顯然有的中心，則顯然有=0=0且||=||=||=||=|1OP2OP3OP1OP2OP3OP|.|.即O是△是△ABCABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=0=0且||=||=||=||=||點(diǎn)O是正△是正△P1P2P3的中心的中心.1OP2OP3OP1OP2OP3OP?例9在△在△ABCABC中，已知中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心

10、。求證：分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共三點(diǎn)共線，且線，且QG:GH=1:2QG:GH=1:2。【證明】：以【證明】：以A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，ABAB所在的直線為所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(00)A(00)、B（x100）、C(xC(x2yy2)，D、E、F分別為分別為ABAB、BCBC、ACAC的中點(diǎn)，則有：的中點(diǎn)，則有：由題設(shè)可設(shè)由題設(shè)可設(shè)1122220)()(

11、)22222xxxyxyEF?D（、、1324)()2xQyHxy（、122()33xxyG?212243()()222xxyAHxyQFy??????????????，212()BCxxy??????2212422142()0()AHBCAHBCxxxyyxxxyy??????????????????????????????212223221232()()0222()22QFACxxyQFACxyyxxxyyy????????????