三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心和旁心(五心定理)

1、三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱。一、一、三角形重心定理三角形重心定理三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。（重心原是一個(gè)物理概念，對(duì)于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名）重心的性質(zhì)：1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距

2、離之比為2∶1。2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為（(X1X2X3)3，（Y1Y2Y3)3。二、三角形外心定理二、三角形外心定理三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心的性質(zhì)：1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形外心。2、若O是△ABC的外心，則∠B

3、OC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=3602∠A（∠A為鈍角）。3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。4、計(jì)算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計(jì)算下列臨時(shí)變量：d1，d2，d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1c2c3。重心坐標(biāo)：((c2c3)2c，(c1c3)2c，(c1

4、c2)2c)。5、外心到三頂點(diǎn)的距離相等三、三角形垂心定理三、三角形垂心定理三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。垂心的性質(zhì)：1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG∶GH=1∶2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Eulerline））3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。定理證明外心三角形