斐波那契數(shù)列與黃金分割講義

1、1,第三節(jié) 斐波那契數(shù)列與黃金分割,2,我們先來(lái)做一個(gè)游戲！,3,十秒鐘加數(shù),請(qǐng)用十秒，計(jì)算出左邊一列數(shù)的和。,時(shí)間到！,答案是 231。,4,十秒鐘加數(shù),再來(lái)一次！,時(shí)間到！,答案是 6710。,5,這與“斐波那契數(shù)列”有關(guān),若一個(gè)數(shù)列，前兩項(xiàng)等于1，而從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)是其前兩項(xiàng)之和，則稱(chēng)該數(shù)列為斐波那契數(shù)列。即：,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …,6,一、兔子問(wèn)題和斐波那契數(shù)列,1． 兔子問(wèn)題

2、 1） 問(wèn)題 ——取自意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算盤(pán)書(shū)》（1202年） (L.Fibonacci,1170-1250）,7,兔子問(wèn)題,假設(shè)一對(duì)初生兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對(duì)成熟兔子每月會(huì)生一對(duì)兔子，那么，由一對(duì)初生兔子開(kāi)始，12 個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？,8,解答,1 月1 對(duì),9,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),10,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),3 月2 對(duì),11,解答,1

3、月1 對(duì),2 月1 對(duì),3 月2 對(duì),4 月3 對(duì),12,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),3 月2 對(duì),4 月3 對(duì),5 月5 對(duì),13,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),3 月2 對(duì),4 月3 對(duì),5 月5 對(duì),6 月8 對(duì),14,解答,1 月1 對(duì),2 月1 對(duì),3 月2 對(duì),4 月3 對(duì),5 月5 對(duì),6 月8 對(duì),7 月13 對(duì),15,解答,可以將結(jié)果以列表形式給出：,1,1,2,3

4、,5,8,13,21,34,55,89,144,因此，斐波那契問(wèn)題的答案是 144對(duì)。以上數(shù)列， 即“斐波那契數(shù)列”,16,兔子問(wèn)題的另外一種提法： 第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類(lèi)似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？ 月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔對(duì)數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 2

5、1 34 55 89 144 小兔對(duì)數(shù) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月時(shí)有大兔子144對(duì)，小兔子89對(duì)，共有兔子144+89=233對(duì)。,規(guī)律,17,2． 斐波那契數(shù)列 1） 公式 用 表示第 個(gè)月大兔子的對(duì)數(shù)，則有二階遞推公式,,,18,2） 斐波那契數(shù)列

6、 令n = 1, 2, 3,… 依次寫(xiě)出數(shù)列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144，233，377，… 這就是斐波那契數(shù)列。其中的任一個(gè) 數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。,19,[思]：請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)3階遞推公式。,20,二、 相關(guān)的問(wèn)題,斐波那契數(shù)列是從兔子問(wèn)題中抽象出來(lái)的，如果它在其它方面沒(méi)有應(yīng)用，它就不會(huì)有強(qiáng)大的生命力。發(fā)人深省的是，斐波那契

7、數(shù)列確實(shí)在許多問(wèn)題中出現(xiàn)。,21,1． 跳格游戲,,,22,如圖，一個(gè)人站在“梯子格”的起點(diǎn)處向上跳，從格外只能進(jìn)入第1格，從格中，每次可向上跳一格或兩格，問(wèn)：可以用多少種方法，跳到第n格？ 解：設(shè)跳到第n格的方法有 種。 由于他跳入第1格，只有一種方法；跳入第2格，必須先跳入第1格，所以也只有一種方法，從而,23,而能一次跳入第n格的，只有第 和第 兩格，因此，跳入

8、第 格的方法 數(shù)，是跳入第 格的方法數(shù) ，加上跳入 第 格的方法數(shù) 之和。 即 。綜合得遞推公式 容易算出，跳格數(shù)列 就是斐波那契數(shù)列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，…,,,,,,,,,,24,2． 連分?jǐn)?shù)

9、 這不是一個(gè)普通的分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)分母上有無(wú)窮多個(gè)“1”的繁分?jǐn)?shù)，我們通常稱(chēng)這樣的分?jǐn)?shù)為“連分?jǐn)?shù)”。,,25,上述連分?jǐn)?shù)可以看作是 中，把 的表達(dá)式反復(fù)代入等號(hào)右端得到的；例如，第一次代入得到的是 反復(fù)迭代，就得到上述連分?jǐn)?shù)。,,

10、,26,上述這一全部由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù)，是最簡(jiǎn)單的一個(gè)連分?jǐn)?shù)。,27,通常，求連分?jǐn)?shù)的值，如同求無(wú)理數(shù)的值一樣，我們常常需要求它的近似值。 如果把該連分?jǐn)?shù)從第 條分?jǐn)?shù)線截住，即把第 條分?jǐn)?shù)線上、下的部分都刪去，就得到該連分?jǐn)?shù)的第 次近似值，記作 。,,,,,28,對(duì)照 可算得,,29,發(fā)現(xiàn)規(guī)律后可以改一種方法算，

11、 例如 順序排起來(lái)，這個(gè)連分?jǐn)?shù)的近似值逐次為,,,,30,3． 黃金矩形 1） 定義：一個(gè)矩形，如果從中裁去一個(gè)最大的正方形，剩下的矩形的寬與長(zhǎng)之比，與原矩形的一樣（即剩下的矩形與原矩形相似），則稱(chēng)具有這種寬與長(zhǎng)之比的矩形為黃金矩形。黃金矩形可以用上述方法無(wú)限地分割下去。,31,,32,2） 試求黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比（也稱(chēng)為黃金比） 解：設(shè)黃金比為 ，則

12、有 將 變形為 ，解 得 ，其正根為 。,,,,,,,33,3） 與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系 為討論黃金矩形與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系，我們 把黃金比化為連分?jǐn)?shù)，去求黃金比的近似值。化 連分?jǐn)?shù)時(shí)，沿用剛才“迭代”的思路：,,34,反復(fù)迭代，得,,35

13、,它竟然與我們?cè)谏隙沃醒芯康倪B分?jǐn)?shù)一樣！因此，黃金比的近似值寫(xiě)成分?jǐn)?shù)表達(dá)的數(shù)列，也是， 其分子、分母都由斐波那契數(shù)列構(gòu)成。并且，這一數(shù)列的極限就是黃金比 。,,,36,三、 黃金分割,1． 定義：把任一線段分割成兩段，使 ，這樣的分割叫黃金分割，這樣的比值叫黃金比。（可以有兩個(gè)分割點(diǎn)）

14、 1,,37,2． 求黃金比 解：設(shè)黃金比為 ，不妨設(shè)全段長(zhǎng)為 1，則大段= ，小段= 。 故有 ， 解得 ，其正根為 A B,,,,,,,,3

15、8,3． 黃金分割的尺規(guī)作圖 設(shè)線段為 。作 ，且 ，連 。作 交 于 ，再作 交 于 ，則 ， 即為 的黃金分割點(diǎn)。,,,,,,,,,,,,,,39,證：不妨令 ，則 ，

16、 ， ， 證完。,,,,,,40,4. 黃金分割的美 黃金分割之所以稱(chēng)為“黃金”分割，是比喻

17、這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門(mén)類(lèi)中審美的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的“合諧”。 例如:,41,1） 人體各部分的比 肚 臍 ： （頭—腳） 印堂穴： （口—頭頂） 肘關(guān)節(jié)： （肩—中指尖） 膝 蓋： （髖關(guān)節(jié)—足尖）,42,2） 著名建筑物中各部分的比,如埃及的金字塔，高（137米）與底邊長(zhǎng)（22

18、7米）之比為0.629古希臘的巴特農(nóng)神殿，塔高與工作廳高之比為340∶553≈0.615,43,3） 美觀矩形的 寬長(zhǎng)比 如國(guó)旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具） 4） 風(fēng)景照片中， 地平線位置的安排,,,44,5） 正五角星中的比,45,6） 舞臺(tái)報(bào)幕者 的最佳站位 在整個(gè)舞臺(tái)寬度

19、的0.618處較美 7） 小說(shuō)、戲劇的 高潮出現(xiàn) 在整個(gè)作品的0.618處較好,46,四、 優(yōu)選法,1． 華羅庚的優(yōu)選法（“0.618法”） 二十世紀(jì)六十年代，華羅庚創(chuàng)造了并證明了優(yōu)選法，還用很大的精力去推廣優(yōu)選法。 “優(yōu)選法”，即對(duì)某類(lèi)單因素問(wèn)題，用最少的試驗(yàn)次數(shù)找到“最佳點(diǎn)”的方法。,47,例如，煉鋼時(shí)要摻入某

20、種化學(xué)元素加大鋼 的強(qiáng)度，摻入多少最合適？假定已經(jīng)知道每噸鋼加入該化學(xué)元素的數(shù)量大約應(yīng)在1000克到2000克之間，現(xiàn)求最佳加入量，誤差不得超過(guò)1克。最“笨”的方法是分別加入100克，1002克，…，1000克，做1千次試驗(yàn)，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。,48,一種動(dòng)腦筋的辦法是二分法，取1000克2000克的中點(diǎn)1500克。再取進(jìn)一步二分法的中點(diǎn)1250克與1750克，分別做兩次試驗(yàn)。如果1750克處效果較差，就刪去1750克到2000克

21、的一段，如果1250克處效果較差，就刪去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中點(diǎn)做試驗(yàn)，比較效果決定下一次的取舍，這種“二分法”會(huì)不斷接近最好點(diǎn)，而且所用的試驗(yàn)次數(shù)與上法相比，大大減少。,49,表面上看來(lái)，似乎這就是最好的方法。但華羅庚證明了，每次取中點(diǎn)的試驗(yàn)方法并不是最好的方法；每次取試驗(yàn)區(qū)間的0.618處去做試驗(yàn)的方法，才是最好的，稱(chēng)之為“優(yōu)選法”或“0.618法”。 華羅庚證明了，這可以用較少的試驗(yàn)

22、次數(shù)，較快地逼近最佳方案。,50,2． 黃金分割點(diǎn)的再生性和“折紙法” ① 黃金分割點(diǎn)的再生性,51,即： 如果是 的黃金分割點(diǎn)， 是 的黃金分割點(diǎn)， 與 當(dāng)然關(guān)于中點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)。特殊的是， 又恰是 的黃金分割點(diǎn)。同樣，如果 是 的黃金分割點(diǎn)，則 又恰是 的黃金分割點(diǎn)，等等，一直延續(xù)下去 。再生,,,,,,,,,,,,,52,② 尋找

23、最優(yōu)方案的“折紙法” 根據(jù)黃金分割點(diǎn)的再生性，我們可以設(shè)計(jì)一種直觀的優(yōu)選法——“折紙法”。 仍以上邊“在鋼水中添加某種元素”的問(wèn)題為例。,53,用一個(gè)有刻度的紙條表達(dá)1000克—2000克。在這紙條長(zhǎng)度的0.618的地方劃一條線，在這條線所指示的刻度上做一次試驗(yàn)，也就是按1618克做第一次試驗(yàn)。 然后把紙條對(duì)折，前一條線落在下一層紙的地方，再劃一條線（黃金分割點(diǎn)），這條線在1382克處，再按13

24、82克做第二次試驗(yàn)。,54,把兩次試驗(yàn)結(jié)果比較，如果1618克的效果較差，我們就把1618克以外的短的一段紙條剪去（如果1382克的效果較差，就把1382克以外的一段紙條剪去）。 再把剩下的紙條對(duì)折，紙條上剩下的那條線落在下一層紙的地方，再劃一條線（黃金分割點(diǎn)），這條線在 1236克處。,55,按1236克做第三次試驗(yàn)，再和1382克的試驗(yàn)效果比較，如果1236克的效果較差，我們就把1236克以外的短的一段紙

25、條剪去。再對(duì)折剩下的紙條，找出第四次試驗(yàn)點(diǎn)是1472克。,56,按1472克做試驗(yàn)后，與1382克的效果比較，再剪去效果較差點(diǎn)以外的短的一段紙條，再對(duì)折尋找下一次試驗(yàn)點(diǎn)，一次比一次接近我們的需要，直到達(dá)到我們滿(mǎn)意的精確度。,57,注意，每次剪掉的都是效果較差點(diǎn)以外的短紙條，保留下的是效果較好的部分，而每次留下紙條的長(zhǎng)度是上次長(zhǎng)度的0.618倍。因此，紙條的長(zhǎng)度按0.618的k次方倍逐次減小，以指數(shù)函數(shù)的速度迅速趨于0。所以，

26、“0.618法”可以較快地找到滿(mǎn)意的點(diǎn)。 事實(shí)上，當(dāng)紙條長(zhǎng)度已經(jīng)很小時(shí)，紙條上的任一個(gè)點(diǎn)都可以作為“滿(mǎn)意”的點(diǎn)了，因?yàn)樽顑?yōu)點(diǎn)就在紙條上，你取的點(diǎn)與最優(yōu)點(diǎn)的誤差一定小于紙條的長(zhǎng)。,58,0.618這個(gè)“黃金比”能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。,59,3． 最優(yōu)化數(shù)學(xué) 生活和生產(chǎn)中提出了大量的優(yōu)化問(wèn)題，它們共同的追求目標(biāo)是：最多、最快、最好、最省。這發(fā)展成一門(mén)“最優(yōu)化數(shù)學(xué)

27、”，包括規(guī)化論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)則、隨機(jī)規(guī)劃等）、統(tǒng)籌學(xué)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（優(yōu)選法、多因素正交實(shí)驗(yàn)法、分批實(shí)驗(yàn)法），組合最優(yōu)化等等。,60,用導(dǎo)數(shù)的方法求極值是用連續(xù)的手段處理最優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)選法“0.618法”則是用離散的手段處理最優(yōu)化問(wèn)題。 應(yīng)當(dāng)看到，提出和解決最優(yōu)化問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用到實(shí)踐中去的一條經(jīng)常的重要的途徑。 我們以后將要做的“找次品”趣題，也是要最大限

28、度地發(fā)揮天平的作用，用最少的次數(shù)找出次品來(lái)，也是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題。,61,五、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美,數(shù)學(xué)中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個(gè)結(jié)果”的情形是屢見(jiàn)不鮮的。 這反映了客觀世界的多樣性和統(tǒng)一性，也反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。 黃金分割點(diǎn)0.618的得到，是一個(gè)能說(shuō)明問(wèn)題的例子,62,從不同途徑導(dǎo)出黃金比 1． 黃金分割：線段的分割點(diǎn)滿(mǎn)足 ，這一比值正是

29、 。 2． 斐波那契數(shù)列組成的分?jǐn)?shù)數(shù)列 的極限正是 。,,,,,,63,3． 方程 的正根是 4． 黃金矩形的寬長(zhǎng)之比正是 5． 連分?jǐn)?shù) 的值正是

30、 6． 優(yōu)選法的試驗(yàn)點(diǎn)，正是 我們看到了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。,,,,,,,64,六、 斐波那契協(xié)會(huì)和《斐波那契季刊》,1． 斐波那契協(xié)會(huì)和《斐波那契季刊》 斐波那契1202年在《算盤(pán)書(shū)》中從兔子問(wèn)題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并沒(méi)有進(jìn)一步探討此序列，并且在19世紀(jì)初以前，也沒(méi)有人認(rèn)真研究過(guò)它。沒(méi)想到過(guò)了幾百年之后，十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)，這一問(wèn)題派生出廣泛的應(yīng)用

31、，從而突然活躍起來(lái)，成為熱門(mén)的研究課題。,65,有人比喻說(shuō)，“有關(guān)斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長(zhǎng)得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會(huì)，還出版了《斐波那契季刊》。,66,2． 斐波那契生平 斐波那契 （Fibonacci.L,1175—1250） 出生于意大利的比薩。他小時(shí)候就 對(duì)算術(shù)很有興趣。后來(lái)，他父親帶他旅行到埃及、敘利亞、希臘（拜占庭）、西西里和普羅旺斯，他又接觸

32、到東方國(guó)家的數(shù)學(xué)。斐波那契確信印度—阿拉伯計(jì)算方法在實(shí)用上的優(yōu)越性。1202年，在回到家里不久，他發(fā)表了著名的《算盤(pán)書(shū)》。,67,斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重視，因而被邀請(qǐng)到宮廷參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。他還曾向官吏和市民講授計(jì)算方法。 他的最重要的成果在不定分析和數(shù)論方面，除了《算盤(pán)書(shū)》外，保存下來(lái)的還有《實(shí)用幾何》等四部著作。,68,3． 自然界中的斐波那契數(shù) 斐波那契數(shù)列中的任一個(gè)數(shù)，都叫斐波那契

33、數(shù)。斐波那契數(shù)是大自然的一個(gè)基本模式，它出現(xiàn)在許多場(chǎng)合。 下面舉幾個(gè)例子。,69,1） 花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù) 大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)。例如，蘭花、茉利花、百合花有3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有8個(gè)花瓣，萬(wàn)壽菊屬植物有13個(gè)花瓣，紫菀屬植物有21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個(gè)花瓣。,70,花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目,海棠（2）,鐵蘭（3）,71,洋紫荊（5）

34、,蝴蝶蘭（5）,黃蟬（5）,花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目,72,花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目,雛菊（13）,雛菊（13）,73,2）樹(shù)杈的數(shù)目,13853211,74,3）向日葵花盤(pán)內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù),75,,76,向日葵花盤(pán)內(nèi)，種子是按對(duì)數(shù)螺線排 列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對(duì)數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過(guò)一個(gè)更大的向日葵有144和23

35、3條螺線，它們都是相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)。,77,松果種子的排列,78,松果種子的排列,79,松果種子的排列,80,菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）,81,這一模式幾個(gè)世紀(jì)前已被注意到，此后曾被廣泛研究，但真正滿(mǎn)意的解釋直到1993年才給出。這種解釋是：這是植物生長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)特性造成的；相鄰器官原基之間的夾角是黃金角——137.50776度；這使種子的堆集效率達(dá)到最高。,82,4）斐波那契數(shù)與音樂(lè),83,84,4． 科學(xué)中的斐波那契數(shù)列

36、 1） 電路中的斐波那契數(shù)列 如下圖那樣專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)的電路， 表示的都是1歐姆的電阻，最后一個(gè)分支中的電流為1安培，則加在電阻上的電壓（從右至左）恰好是斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…,85,加在電阻上的電壓，從右至左，恰是斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21,…………,86,2） 通過(guò)面對(duì)面的玻璃板的斜光線的不同路線條數(shù),反射次數(shù)為0的光線以唯一的一種路線通過(guò)玻璃板；

37、 反射次數(shù)為1的光線可以以2種路線通過(guò)玻璃板； 反射次數(shù)為2的光線可以以3種路線通過(guò)玻璃板； 反射次數(shù)為3的光線可以以5種路線通過(guò)玻璃板； 反射次數(shù)為的光線可以以種路線通過(guò)玻璃板；,87,3） 股票指數(shù)增減的“波浪理論” ① 完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相繼兩斐波那契數(shù)； ② 每次股指增長(zhǎng)幅度

38、（8，13等）或回調(diào)幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契數(shù)。 股指變化有無(wú)規(guī)律？回答是肯定的。,88,89,1934年美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家艾略特在通過(guò)大量資料分析、研究后，發(fā)現(xiàn)了股指增減的微妙規(guī)律，并提出了頗有影響的“波浪理論”。該理論認(rèn)為：股指波動(dòng)的一個(gè)完整過(guò)程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的5（或8）個(gè)波組成，其中3上2下（或5上3下），如圖，無(wú)論從小波還是從大波波形上看，均如此。 注意這兒的2

39、、3、5、8均系斐波那契數(shù)列中的數(shù)。,90,同時(shí)，每次股指的增長(zhǎng)幅度常循斐波那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律完成。比如：如果某日股指上升8點(diǎn)，則股指下一次攀升點(diǎn)數(shù)為13；若股指回調(diào)，其幅度應(yīng)在5點(diǎn)左右。顯然，5、8、13為斐氏數(shù)列的相鄰三項(xiàng)。,91,92,可以說(shuō)，斐波那契以他的兔子問(wèn)題，猜中了大自然的奧秘，而斐波那契數(shù)列的種種應(yīng)用，是這個(gè)奧秘的不同體現(xiàn)。妙哉數(shù)學(xué)！,93,5． 推廣的斐波那契數(shù)列 — 盧卡斯數(shù)列 1） 盧卡斯

40、數(shù)列 盧卡斯（Lucas，F(xiàn).E.A. 1824-1891） 構(gòu)造了一類(lèi)更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被稱(chēng)為“推廣的斐波那契數(shù)列”，,,94,即從任何兩個(gè)正整數(shù)開(kāi)始，往后的每一個(gè)數(shù)是其前兩個(gè)數(shù)之和，由此構(gòu)成無(wú)窮數(shù)列。此即，二階遞推公式 中，遞推式與前面一樣，而起始整數(shù) 可任取。,,95,斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，… 是這類(lèi)數(shù)列中最簡(jiǎn)單的一個(gè)

41、，起始整數(shù) 分別取為1、1。 次簡(jiǎn)單的為1，3，4，7，11，18，… 現(xiàn)稱(chēng)之為盧卡斯數(shù)列。 盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式是,,,96,推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：該數(shù)列相鄰兩數(shù)之比，交替地大于或小于黃金比；并且，兩數(shù)之比的差隨項(xiàng)數(shù)的增加而越來(lái)越小，趨近于0，從而這個(gè)比存在極限；而且這個(gè)比的極限也是黃金比 。,,97,類(lèi)似于前面提到的數(shù)列,

42、其極限也是,98,2） 用斐波那契數(shù)列及其推廣變魔術(shù),① 讓觀眾從你寫(xiě)出的斐波那契數(shù)列中任意選定連續(xù)的十個(gè)數(shù)，你能很快說(shuō)出這些數(shù)的和。 其實(shí)有公式：這個(gè)和，就是所選出的十個(gè)數(shù)中第七個(gè)數(shù)的11倍。,1 1 2 3 5 8132134,,5589144233377610987…,99,“十秒鐘加數(shù)”的秘密,數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：連續(xù) 10個(gè)斐波那契數(shù)之和，必定等于第 7個(gè)數(shù)的 11 倍！,所

43、以右式的答案是：,21 ? 11 = 231,,100,“十秒鐘加數(shù)”的秘密,又例如：,右式的答案是：,,610 ? 11 = 6710,101,② 讓觀眾從你寫(xiě)出推廣的斐波那契數(shù)列中任何地方劃一條線，你能迅速說(shuō)出“這條線之前所有各數(shù)”的和。 其實(shí)有公式：前 項(xiàng)和 = 表示盧卡斯數(shù)列的第 項(xiàng)。 (請(qǐng)大家課下自己制作),,,,102,6． 斐波那契數(shù)列的一些

44、更深刻的性質(zhì) 1） 通項(xiàng)公式 一個(gè)正整數(shù)序列的通項(xiàng)，竟然可以用帶有無(wú)理數(shù) 的式子表達(dá)，這是十分意外的結(jié)果。 該證明由法國(guó)數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）做出。 [南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生吳云輝、李明昱曾經(jīng)在“數(shù)學(xué)文化”課的讀書(shū)報(bào)告中，給出了這一通項(xiàng)公式的多個(gè)證明],,,103,2） 斐波那契數(shù)列的后項(xiàng)除以前項(xiàng)做成的分?jǐn)?shù)數(shù)列 的

45、極限為黃金比的倒數(shù) 稱(chēng)為第二黃金比。 即有,,,,104,本節(jié)結(jié)束,謝謝,105,,,106,[思] 請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)3階遞推公式。 答： 例如,,107,,,108,斐波那契數(shù)列的有趣特性,數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了許多斐波那契數(shù)列的特性。例如：,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34

46、 , 55 , 89 , 144 , …,,,第3、6、9、12等項(xiàng)的數(shù)字能被2整除。,第4、8、12等項(xiàng)的數(shù)字能被3整除。,第5、10等項(xiàng)的數(shù)字能被5整除。其余依此類(lèi)推。,109,從斐波那契數(shù)列體味數(shù)學(xué)文化,要善于從生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題，首先要明確概念，提煉其精髓采取合適的方法（如列表）是關(guān)鍵善于總結(jié)，從而得出一般規(guī)律（這里，建立了二階遞推公式）,110,斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250）,111,2）

47、列表解題 ① 分析、抓住本質(zhì)、簡(jiǎn)化。 題中本質(zhì)上有兩類(lèi)兔子：一類(lèi)是能生殖的兔子，簡(jiǎn)稱(chēng)為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡(jiǎn)稱(chēng)為小兔子；小兔子一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子。求的是大兔子與小兔子的總和。,112,2） 深入觀察規(guī)律 ① 每月小兔對(duì)數(shù)=上月大兔對(duì)數(shù)。 ② 每月大兔對(duì)數(shù)等于上個(gè)月大兔對(duì)數(shù)與小兔對(duì)數(shù)之和。 綜合①②兩點(diǎn)，我們就有：每月大兔對(duì)數(shù)等于

48、前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和。 列表觀察，不僅解答了問(wèn)題，而且找到了規(guī)律。,人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書(shū)，廣泛閱讀，古人說(shuō)“書(shū)中自有黃金屋?！蓖ㄟ^(guò)閱讀科技書(shū)籍，我們能豐富知識(shí)，培養(yǎng)邏輯思維能力；通過(guò)閱讀文學(xué)作品，我們能提高文學(xué)鑒賞水平，培養(yǎng)文學(xué)情趣；通過(guò)閱讀報(bào)刊，我們能增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)，擴(kuò)大自己的知識(shí)面。有許多書(shū)籍還能培養(yǎng)我們的道德情操，給我們巨大的精神力量，鼓舞我們前進(jìn)。