電力系統(tǒng)分析課件(于永源)4章

1、第四章 電力系統(tǒng)潮流的計算機算法,第一節(jié) 電力網絡的數(shù)學模型第二節(jié) 等值變壓器模型及其應用第三節(jié) 節(jié)點導納矩陣的形成和修改第四節(jié) 功率方程和變量及節(jié)點分類第五節(jié) 高斯-賽德爾法潮流計算第六節(jié) 牛頓-拉夫遜法潮流計算第七節(jié) P-Q分解法潮流計算,第三章討論簡單電力網絡的潮流分布計算，理解了與之相關的各種物理現(xiàn)象。對于復雜電力網絡的潮流計算，一般必須借助電子計算機進行。 運用電子計算機，一般要完成以下步驟：

2、 1、建立電力網絡的數(shù)學模型 2、確定解算方法 3、制定計算流程和編制計算程序 本章將著重討論前兩項，主要闡述在電力系統(tǒng)潮流的實際計算中常用的、基本的方法。,,第一節(jié) 電力網絡的數(shù)學模型,電力網絡的數(shù)學模型指的是將網絡有關參數(shù)及其相互關系歸納起來，組成可以反映網絡性能的數(shù)學方程式組。也就是對電力系統(tǒng)的運行狀態(tài)、變量和網絡參數(shù)之間相互關系的一種數(shù)學描述。有： 節(jié)點電壓方程 回

3、路電流方程 割集電壓方程等 節(jié)點電壓方程又分為以節(jié)點導納矩陣表示的節(jié)點電壓方程和以節(jié)點阻抗矩陣表示的節(jié)點電壓方程。,一、節(jié)點導納矩陣的節(jié)點電壓方程,在電路理論中，已經講過了節(jié)點導納矩陣的節(jié)點電壓方程 對于n個節(jié)點的網絡其展開為 上式中， 是節(jié)點注入電流的列向量。 是節(jié)點電壓的列向量。 是一個n×n階節(jié)點導納矩陣。,以網絡節(jié)點導納矩陣表示的節(jié)點電壓方程在進行潮流計算時,可以減少計

4、算機的內存,提高運算速度,因此是最為常用的.二、節(jié)點阻抗矩陣的節(jié)點電壓方程 由 的兩邊都左乘 ，可得 ，而 ，則節(jié)點電壓方程為,,第二節(jié) 等值變壓器模型及其應用,一、變壓器為非標準變比時的修正 無論采用有名制或標么制，凡涉及多電壓級網絡的計算，在精確計算時都必須將網絡中所有參數(shù)和變量按市價變比歸算到同

5、一電壓等級。實際上，在電力系統(tǒng)計算中總是有些變壓器的實際變比不等于變壓器兩側所選電壓基準值之比，也就是不等于標準變比，而且變壓器的變比在運行中是可以改變的。這將使每改變一次變比都要從新計算元件參數(shù)，很不方便。下面將介紹另一種可等值地體現(xiàn)變壓器電壓變換功能的模型。二、等值變壓器模型,圖一 等值雙繞組變壓器,（a）非標準變比時的修正電路,（c）以變壓器導納表示,（b）以變壓器導納表示,由圖一（a）電路可得到以下關系式：,解上聯(lián)立方程得：

6、,和,對于三繞組變壓器，由于在高、中壓兩側有分接頭，其接入理想變壓器的電路如圖二所示：,（b）等值電路,（a）電路,圖二 等值三繞組變壓器模型,三、等值變壓器模型的應用（1）采用有名制，線路參數(shù)都未經歸算，變壓器參數(shù)則歸在低壓側。變壓器阻抗為：,相應的理想變壓器的變比為：,其中， 、 分別為變壓器高、低壓繞組實際匝數(shù)相對應的電壓。,（2）采用有名制，線路和變壓器參數(shù)都已按選定的變比歸算至高壓側這種情況下的線路阻抗分別為,相應的

7、理想變壓器的變比為：,其中， 、 分別為變壓器高、低壓側的電壓。,變壓器阻抗為,（3）采用標么制，線路和變壓器參數(shù)都已按選定的基準電壓折算為標么值。這種情況下的線路阻抗的標么值分別為,相應的理想變壓器變比的標么值應?。?其中， 、 分別為折算參數(shù)時任選的變壓器高、低壓側基準電壓。,變壓器阻抗標么值為,,第三節(jié) 節(jié)點導納矩陣的形成和修改,一、節(jié)點導納矩陣的形成節(jié)點導納矩陣的計算歸納總結如下：1、 節(jié)點導納矩陣的階數(shù)等

8、于電力網絡中除參考電（一般為大地）以外的節(jié)點數(shù)。2、 節(jié)點導納矩陣是稀疏矩陣，其各行非對角非零元素的個數(shù)等于對應節(jié)點所連的不接地支路數(shù)。3、 節(jié)點導納矩陣的對角元素，即各節(jié)點的自導納等于相應節(jié)點所連支路的導納之和，即,4、節(jié)點導納矩陣的非對角元素 等于節(jié)點 和 間支路導納的負值，即5、節(jié)點導納矩陣是對稱方陣，因此一般只需要求取這個矩陣的上三角或下三角部分。6、對網絡中的變壓器，采用計及非標準變比時以導納表示的等值電

9、路，并將之接入網絡中。然后按此等職電路用前述方法很方便地形成節(jié)點導納矩陣。在實際程序中，往往直接計算變壓器支路對節(jié)點導納矩陣的影響。即當新接入非標準變比的變壓器支路 、 時，對原來的節(jié)點導納矩陣修正如下：,1）增加非零非對角元素為2）節(jié)點 的自導納，增加一個改變量為3）節(jié)點 的自導納，也增加一個改變量為,二、節(jié)點導納矩陣的修改 在電力系統(tǒng)計算中，對于已知網絡，其節(jié)點導納矩陣已經形成。如果網

10、絡接線發(fā)生局部變化，此時不必重新計算節(jié)點導納矩陣。僅僅需要在原節(jié)點導納矩陣的基礎上進行必要的局部修改就可以得到所求節(jié)點導納矩陣。下面介紹幾種情況。,圖三 電力網絡接線變更示意圖,(a),(b),(c),(d),（1）從原有網絡中引出一條新的支路，圖三（a）。同時增加一個新的節(jié)點。 新增加節(jié)點的對角元素為： 新增加非對角元素為： 原有節(jié)點的自導納增量為：,（2）在原有節(jié)點 和 間增加一條支路，圖三（b

11、）。此情況下節(jié)點導納矩陣的階數(shù)不變。有關元素修改如下：,（3）在原有節(jié)點間切除一條阻抗為 的支路，見圖三（c）這種情況下，相當于在節(jié)點 和 間增加阻抗為 的支路，此時，節(jié)點導納矩陣的階數(shù)不變，其元素修正如下：,（4）原有網絡節(jié)點 和 之間支路阻抗由 改變?yōu)?，這種情況下，可以看作是在節(jié)點 和 間切除阻抗為 的支路，并在節(jié)點 和 間增加阻抗為 的支路，如圖三（d）。此時，節(jié)點導納矩陣的階數(shù)不

12、變，其元素修正如下：,（5）原有網絡節(jié)點 和 之間變壓器的變比由 變?yōu)?時，相當于在原網絡節(jié)點 和 之間切除一變比為 的變壓器支路，而又增加一個變比為 的變壓器支路。其元素修正如下：,,第四節(jié) 功率方程和變量及節(jié)點分類,一、功率方程每節(jié)點的注入功率方程式為：其中： 對于N個節(jié)點的電力網絡，可以列出2N個功率方程。每個節(jié)點具有四個變量，N個節(jié)點有4N個變量，但只有2N個關系方程式。,

13、二、變量的分類,1、負荷消耗的有功、無功功率（ 、 ）取決于用戶，因而是無法控制的，故稱為不可控變量或擾動變量。一般以列向量 表示，即,2、電源發(fā)出的有功、無功功率（ 、 ）是可以控制的變量，故稱為控制變量，以列向量 表示，即,3、母線或節(jié)點電壓和相位角（ 、 ），是受控制變量控制的因變量。其中 主要受 的控制， 主要受 的控制。故 、 稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，以列向量 表示，即,

14、三、節(jié)點的分類1、PQ節(jié)點：已知P、Q 負荷、過渡節(jié)點，PQ給定的 發(fā)電機節(jié)點，為大部分節(jié)點2、 PV節(jié)點：已知P、V 給定PV的發(fā)電機節(jié)點， 具有可調電源的變電所， 為少量節(jié)點3、 平衡節(jié)點＋基準節(jié)點： 也稱為松弛節(jié)點，搖擺節(jié)點,,,PQ節(jié)點,平衡節(jié)點,,第五節(jié) 高斯-塞德爾法潮流計算,迭代法 考察下列形式的方程： 這種方程是隱式的，因而不能直接

15、得出它的根，但如果給出根的某個猜測值，代入上式的右端，即可求得： 再進一步得到：,如此反復迭代：確定數(shù)列{xk}有極限則稱迭代過程收斂，極限值x*為方程的根。 上述迭代法是一種逐次逼近迭代法，稱為高斯迭代法。,高斯-塞德爾迭代法 在高斯法的每一次迭代過程中是用上一次迭代的全部分量來計算本次的所有分量，顯然在計算第i個分量時，已經計算出來的最新分量并沒有被利用，從直觀上看，最新計算出來的分量可能比舊的分量要

16、好些。因此，對這些最新計算出來的第k+1次近似分量加以利用，就是高斯-塞德爾迭代法。高斯-塞德爾迭代法計算潮流 功率方程的特點：描述電力系統(tǒng)功率與電壓關系的方程式是一組關于電壓的非線性代數(shù)方程式，不能用解析法直接求解 。,假設有n個節(jié)點的電力系統(tǒng)，沒有PV節(jié)點，平衡節(jié)點編號為s，功率方程可寫成下列復數(shù)方程式： 對每一個PQ節(jié)點都可列出一個方程式，因而有n-1個方程式。在這些方程式中，注入功率Pi和Qi都是給定的，平衡

17、節(jié)點電壓也是已知的，因而只有n-1個節(jié)點的電壓為未知量，從而有可能求得唯一解。,高斯-塞德爾迭代法解潮流如下： 如系統(tǒng)內存在PV節(jié)點，假設節(jié)點p為PV節(jié)點，設定的節(jié)點電壓為Up0。假定高斯-塞德爾迭代法已完成第k次迭代，接著要做第k+1次迭代前，先按下式求出節(jié)點p的注入無功功率：,然后將其代入下式，求出節(jié)點p的電壓： 在迭代過程中，按上式求得的節(jié)點p的電壓大小不一定等于設定的節(jié)點電壓Up0，所有在

18、下一次的迭代中，應以設定的Up0對電壓進行修正，但其相角仍保持上式所求得的值，使得 如果所求得PV節(jié)點的無功功率越限，則無功功率在限，該 PV節(jié)點轉化為PQ節(jié)點。,高斯-塞德爾迭代法計算潮流的步驟：設定各節(jié)點電壓的初值，并給定迭代誤差判據(jù)；對每一個PQ節(jié)點，以前一次迭代的節(jié)點電壓值代入功率迭代方程式求出新值；對于PV節(jié)點，求出其無功功率，并判斷是否越限，如越限則將PV節(jié)點轉化為PQ節(jié)點；判別各節(jié)點電壓前后二次迭代值相

19、量差的模是否小于給定誤差，如不小于，則回到第2步，繼續(xù)進行計算，否則轉到第5步；根據(jù)功率方程求出平衡節(jié)點注入功率；求支路功率分布和支路功率損耗。,,第六節(jié) 牛頓-拉夫遜法潮流計算,一、牛頓-拉夫遜法的基本原理 設有單變量非線性方程 (4-1)

20、 給出解的近似值 ，它與真解的誤差為 ，則 可得將上式左邊的函數(shù)在 附近展成泰勒級數(shù)，便得

21、 （4-2）,如果差值 很小， 的二次及以上階次的各項可略去，式（4-2）便簡化成 上式是修正量 的線性方程式，也稱為修正方程式，解此方程可得修正量 用所求的 去修正近似解，便得 修正后的近似解 同真解仍有誤差，為進一步逼近真解，這樣的迭代計算反復進行下去，迭代計算通式是,（4-3）

22、 迭代過程的收斂判劇為 （4-4）　或

23、 （4-5） 　式中， 和 為預先給定的小正數(shù)。 下圖為這種解法的幾何意義，函數(shù) 為圖中曲線。 的解相當于曲線與 軸的交點。如果第 次迭代中得到 ，則過點[ ]點作一切線，此切線同 軸的交點便

24、確定了下一個近似解 。由此可見，牛頓-拉夫遜法實質上就是切線法，是一種逐步線性的方法。,牛頓法的幾何解釋牛頓法也適用于多變量非線性代數(shù)方程的求解。設有 個聯(lián)立的非線性代數(shù)方程 （4-6）,,,,,,,,,

25、,,假定已給出各變量的初值 ，令 分別為各變量的修正量，使其滿足方程（4-6），即

26、 （4-7） 將上式的 個多元函數(shù)在初始值附近分別展成泰勒級數(shù)，并略去含有 的二次及以上階次各項，使得

27、 （4-8）,方程式（4-8）也可以寫成矩陣形式

28、 （4-9） 方程式（4-9）是對于修正量 的線性方程組，稱為牛頓法的修正方程式，利用高斯消去法或三角分解法可解出 ，然后對初始近似解進

29、行修正 （4-10） 如此反復迭代，在進行第 次迭代時，從而求得修正方程式,（4-11）得到修正量 ，并對各修正量進行修正

30、 （4-12） 式（4-11）和式（4-12）也可縮寫為 （4-13）和

31、 （4-14）,式中， 和 分別是由 個變量和修正量組成的 維列向量； 是由 個多元函數(shù)組成的 維列向量； 是 階方陣，稱為雅可比矩陣，它的第 ， 個元素 是第 個函數(shù) 對第 個變量 的偏導數(shù)；上角標 表示 陣每一個元素都

32、在點 處取值。 迭代過程一直進行到滿足收斂判劇 （4-15）或 （4-16）為止， 和 為預先給定的小正數(shù)。,將牛頓-拉夫遜法用于潮流計算，要求將潮流方程寫成形如式（4-16）的形式。由于節(jié)點電壓可以采用不同的坐標系表示，牛頓-拉夫

33、遜法潮流計算也就相應地采取不同的計算公式。 二、節(jié)點電壓用直角坐標表示時的牛頓-拉夫遜法潮流計算 采用直角坐標時，節(jié)點電壓可表示為 導納矩陣元素則可表示為,將上述表達式代入 ，展開并分出實部和虛部，便得

34、 （4-17） 假定系統(tǒng)中的第 號節(jié)點為 節(jié)點，第 個節(jié)點的給定功率設為 和 ，對該節(jié)點可列寫方程 （4-1

35、8）,假定系統(tǒng)中的第 號節(jié)點為 節(jié)點，則對其中每一個節(jié)點可列寫方程,（4-19）,第 號節(jié)點為平衡節(jié)點，其電壓 是給定的，不參加迭代。,式（4-18）和式（4-19）總共包含了 個方程，待求的變量有 也是 個 。我們還可看到，方程（4-18）和式（4-19）已經具備了方程組（4-16）的形式，因此，不難寫出如下的修正方程式,（4-

36、20）,式中,,上述方程中雅可比矩陣的各元素，可以對式（4-18）和式（4-19）求偏導獲得，當 時 （4-21） 當 時,見式（4-22）,（4-22） 修正方程式（4-20）還可以寫成矩陣的形式，如下,式

37、中， 和 都是二維列向量； 是 階方陣。 對于 節(jié)點,（4-23）,（4-24）,對于 節(jié)點,（4-25）,從表達式（4-21）～（4-25）得出雅可比矩陣的以下特點： （1）雅可比矩陣各元素都是節(jié)點電壓的函數(shù)，它們的數(shù)值將在迭代過程中不斷地改變。 （2）雅可比矩陣的子塊 中的元素的表達式只用到導納矩陣中的對應元素 ，則必有 。因此，（4-23）式中分塊形

38、式的雅可比矩陣同節(jié)點導納矩陣一樣稀疏，修正方程的求解同樣可以應用稀疏矩陣的技巧。 （3）無論在式（4-20）或式（4-23）中雅可比矩陣的元素或子塊都不具有對稱性。 用牛頓-拉夫遜計算潮流的程序框圖示于下圖,輸入原始數(shù)據(jù),形成節(jié)點導納矩陣,,,,按公式（11-49）和（11-50）計算雅可比矩陣各元素,,,計算平衡節(jié)點功率及全部線路功率,輸出,,,,,,,,,,,,,,,,,,,輸電線路功率的計算公式如下

39、 （4-28）三、節(jié)點電壓用極坐標表示時的牛頓-拉夫遜潮流計算 采用極坐標時，節(jié)點電壓表示

40、為 節(jié)點功率方程將寫成 （4-29） 式中 ，是 兩節(jié)點電壓的相角差。,方程式（4-29）把節(jié)點功率表示為節(jié)點電壓的幅值和相角的函數(shù)。在有 個

41、節(jié)點的系統(tǒng)中，假定第 號節(jié)點為 節(jié)點，第 號節(jié)點為 節(jié)點，第 號節(jié)點為平衡節(jié)點。 和 是給定的， 節(jié)點的電壓幅值 也是給定的。因此，只剩下 個節(jié)點的電壓相角 和第 個節(jié)點的電壓幅值 是未知量。對于每一個 或每一個 節(jié)點都可以列寫一個有功功率不平衡量方程式,（4-30）,而對于每一個 節(jié)點還可以再列寫一

42、個無功功率不平衡量方程式 （4-31） 式（4-30）和式（4-31）一共包含了 個方程式，正好同未知量數(shù)目相等，而比直角坐標形式的方程式少了 個。 對于方程式（4-30）和式（4-31）可以寫出修正方程式如下

43、 （4-32） 式中,； ；

44、 （4-33） ；

45、 是 階方陣 ，其元為 ； 是 階矩陣，其元素為 ； 是 　階矩陣，其元素為 ； 是 階矩陣，其元 素為　　 。,在上式中把節(jié)點不平衡功率對節(jié)點電壓幅值的偏導數(shù)都乘以該節(jié)點電壓，相應地把節(jié)點電壓的修正量都除以該節(jié)點的電壓幅值，這樣，雅可比

46、矩陣元素的表達式就具有比較整齊的形式。 對式（4-30）和（4-31）求偏導數(shù)，可以得到雅可比矩陣元素的表達式如下 當 時 （4-34）,當 時,計算的步驟和程序框圖與直角坐標形式的相似。,（4-35）,,第七節(jié) P-Q分解法潮流計算,P-Q分解法是牛頓-拉夫遜法潮流計算的一種簡化方法。

47、 牛頓-拉夫遜法的缺點：牛頓-拉夫遜法的雅可比矩陣在每一次迭代過程中都有變化，需要重新形成和求解，這占據(jù)了計算的大部分時間，成為牛頓-拉夫遜法計算速度不能提高的主要原因。 P-Q分解法利用了電力系統(tǒng)的一些特有的運行特性，對牛頓-拉夫遜法做了簡化，以改進和提高計算速度。,一、牛頓-拉夫遜法簡化形成P-Q分解法的過程,牛頓-拉夫遜法修正方程展開為：根據(jù)電力系統(tǒng)的運行特性進行簡化：１、考慮到電力系統(tǒng)中有功功率分布主要受節(jié)點電壓相

48、角的影響，無功功率分布主要受節(jié)點電壓幅值的影響，所以可以近似的忽略電壓幅值變化對有功功率和電壓相位變化對無功功率分布的影響，即：,２、根據(jù)電力系統(tǒng)的正常運行條件還可作下列假設：電力系統(tǒng)正常運行時線路兩端的電壓相位角一般變化不大（不超過10~20度）；電力系統(tǒng)中一般架空線路的電抗遠大于電阻；節(jié)點無功功率相應的導納Q/U*U遠小于該節(jié)點的自導納的虛部。用算式表示如下：,由以上假設，可得到雅可比矩陣的表達式為：修正方程式為：

49、U為節(jié)點電壓有效值的對角矩陣，B為電納矩陣（由節(jié)點導納矩陣中各元素的虛部構成）,根據(jù)不同的節(jié)點還要做一些改變：在有功功率部分，要除去與有功功率和電壓相位關系較小的因素，如不包含各輸電線路和變壓器支路等值Π型電路的對地電納。在無功功率部分，PV節(jié)點要做相應的處理。則修正方程表示為： 一般,由于以上原因，B’和B’’是不相同的，但都是對稱的常數(shù)矩陣。,以一個n-1階和一個n-m-1階線性方程組代替原有的2n-m-1