第一章 應力.ppt

1、上篇,應力應變分析,第一章 應力分析,主要內(nèi)容：1. 應力分量、應力張量概念2. 斜截面應力公式3. 平衡微分方程4. 應力邊界條件5. 應力分量坐標變換6. 主應力，最大剪應力，Mohr應力圓7. 偏應力張量，等效應力，主應力空間,§1-1 應力矢量,一、外力概念,體力、面力,（材力：集中力、分布力。）,(1) 體力,,,,—— 物體內(nèi)單位體積上所受的外力,—— 體力分布集度,（矢量）,X、Y、Z為體力矢量

2、在坐標軸上的投影,單位：,N/m3,kN/m3,說明：,(1) F 是坐標的連續(xù)分布函數(shù)；,(2) F 的加載方式是任意的 (如：重力，磁場力、慣性力等),(3) X、Y、Z 的正負號由坐標方向確定。,,(2) 面力,—— 作用于物體表面單位面積上的外力,,,,—— 面力分布集度（矢量）,—— 面力矢量在坐標軸上投影,單位：,1N/m2 =1Pa (帕),1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕),說明：,(1)

3、 F 是坐標的連續(xù)分布函數(shù)；,(2) F 的加載方式是任意的;,,(3) 的正負號由坐標方向確定。,(1) 一點應力的概念,內(nèi)力,,(1) 物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力;,(2) 由于外力作用引起的相互作用力.,(不考慮),P,,(1) P點的內(nèi)力面分布集度,(2) 應力矢量.,----P點的應力,的極限方向,由外力引起的在 P點的某一面上內(nèi)力分布集度,二、應力矢量,應力分量,,應力的法向分

4、量,—— 正應力,應力的切向分量,—— 剪應力,單位:,MPa (兆帕),應力關于坐標連續(xù)分布的,,應力分量沿坐標軸的分量：,用,表示坐標軸單位矢量,重要公式,(2) 一點的應力狀態(tài),通過一點P 的各個面上應力狀況的集合,—— 稱為一點的應力狀態(tài),x面的應力：,y面的應力：,z面的應力：,用矩陣表示：,應力符號的意義：,,第1個下標 x 表示τ所在面的法線方向；,第2個下標 y 表示τ的方向.,應力正負號的規(guī)定：,,正應力—— 拉為正

5、，壓為負。,剪應力—— 坐標正面上，與坐標正向一致時為正；,坐標負面上，與坐標正向相反時為正。,與材力中剪應力τ正負號規(guī)定的區(qū)別：,,規(guī)定使得單元體順時轉的剪應力τ為正，反之為負。,在用應力莫爾圓時必須用此規(guī)定求解問題,其中，只有6個量獨立。,,剪應力互等定理,用張量表示：,重要公式,§1-2 Cauchy公式（斜面應力公式）,已知物體在任一點P的六個應力分量,求經(jīng)過P點的任一斜面上的應力。,設三角形ABC的面積為?S，則三

6、角形BPC、CPA、APB的面積分別為l?S 、m?S、 n?S。四面體PABC的體積用?V表示。三角形ABC上的應力 在坐標軸方向的分量根據(jù)四面體的平衡條件 ，,令平面ABC的外法線為N，其方向余弦為,除以?S，移項后，得,當斜面ABC趨近于P點時，由于?V是比?S更高一階的微量，所以?V/ ?S趨于零。于是得出下式中的第一式。同樣，由平衡條件

7、 可以得出其余兩式。,斜面應力(Cauchy)公式,重要公式,設三角形ABC上的正應力為?N , 則由投影可得,將Cauchy公式代入，得,重要公式,重要公式,斜面應力矢量大小,重要公式,斜面剪應力分量大小,重要公式,在物體的任意一點，如果已知六個應力分量 就可以求得任一斜面上的正應力和剪應力。就是說，六個應力分量完全決定了一點的應力狀態(tài)。,§1-3 平

8、衡微分方程,在物體內(nèi)的任意一點P，割取一個微小的平行六面體，棱邊的長度分別為PA=dx，PB=dy，PC=dz。,首先，以連接六面體前后兩面中心的直線 為矩軸，列出力矩的平衡方程,整理，并略去微量后，得,同樣可以得出,剪應力互等定理,列出x軸方向的力的平衡方程,由其余兩個平衡方程 和 可以得出與之相似的兩個方程?；啠詃xdydz，得,空間

9、問題的平衡微分方程 （納維葉方程）,重要公式,如物體處于運動狀態(tài),根據(jù)達朗伯(d’Alembert)原理,在體力項中引入慣性力:,運動微分方程,§1-4 力邊界條件,如果斜截面ABC是物體的邊界面，則Tx、Ty、Tz 成為面力分量 ，于是得出,即應力邊界條件。它表明了應力分量的邊界值與表面力分量之間的關系。,重要公式,§1-5 應力分量的坐標變換,在給定載荷作用下，物體內(nèi)的任

10、意斜截面上應力的大小和方向是確定的，即一點的應力狀態(tài)是確定的。不隨所取坐標系的不同而變化。,一點的應力（應變）狀態(tài)是用6個應力分量來定義，而應力分量是在一定的坐標系下確定的，且隨坐標系的不同的變化。本節(jié)重點是討論坐標變換時應力分量的變化規(guī)律。,坐標變換包括平移、旋轉和反射。 對右手坐標系，平移和旋轉變換后仍保持右手系，反射變換則變成左手系。,對平移變換，一點的應力分量保持不變。,本節(jié)主要討論坐標旋轉變換時應力分量的

11、變化規(guī)律,考察物體內(nèi)任一點o，設oxyz為舊坐標系，其單位矢量為ex、ey、ez，相應的應力分量為,,,,x,y,z,,,,e1,e2,e3,設ox’y’z’為新坐標，其單位矢量為ex’、ey’ 、ez’ 。相應的應力分量為,新舊坐標系下坐標軸間的方向余弦為,作斜面abc垂直于x’軸，該斜面上的應力矢量為T。T在舊坐標系下的三個分量為Tx， Ty和Tz ，則,,,,,,,x,y,z,z’,x’,y’,,,,,,,,,T,由斜面應力(Ca

12、uchy)公式,T在新坐標系下的三個分量為 Tx’ 、 Ty’ 、Tz’ 則,用矩陣表示：,同理：,合并：,§1-6 主應力與應力張量不變量,已知一點的應力分量 ，則任意斜截面上的應力矢量,斜截面上的應力不僅與該點的應力狀態(tài) 有關，且與斜面的方向 有關。,問：是否存在一特定的斜截面，剪應力為零。其上應力矢量T與截面法線同向。即T為該截面上的正應力 ，,已知,當斜

13、面法線方向滿足上述方程時，該斜面上只有正應力，沒有剪應力，稱該平面為主平面；主平面上的正應力稱為主應力；主應力方向（即主平面法線方向）稱為主方向。,上述方程為 的齊次線性方程組， 且常數(shù)項都為零。因為： ，故 不能同時為零，所以方程組的系數(shù)行列式應為零，即,將行列式展開，得到求解主應力 的三次方程，稱為應力張量 的特征方程。,式

14、中,設特征方程的三個根為 ，則,展開后有,比較上兩式，有,對一個給定的應力狀態(tài)，其主應力的大小和方向是確定的，不隨坐標系的變換而變化。故 是不隨坐標系的變換而變化的量，稱為應力張量不變量。,（特征方程）,分別稱為應力張量的第一、第二、第三不變量。,例：,求主應力和主方向,解：,代入特征方程：,解得,求 對應的主方向,主應力的重要性質(zhì),1. 主應力為實數(shù)；

15、2. 三個主應力相互垂直； 即物體內(nèi)任意一點，一定存在三個互相垂直的應力主平面，及對應的三個主應力。 （1）當 ，有3個相互垂直的主應力； （2）當 ，與 垂直的平面上的任意方向都為主應力方向，即該平面上任意方向都是主方向，且應力值相同。 （3）當 ，空間

16、任意方向都是主方向，且應力值相同。,3. 主應力的極值性； （1）最大（或最小）的主應力是相應點處任意截面上正應力的最大（或最?。┲?；設： ，則（2）絕對值最大（或最?。┑闹鲬κ窍鄳c處任意截面上全應力T的最大（或最?。┲怠?§1-7 最大剪應力,設3個主應力及主方向已知。以3個主方向為坐標軸方向。則應力分量：,由斜面應力公式,,由,是m，n的函數(shù)， 取極值（

17、 也取極值）的條件是,即,上式第一式除 ，第二式除 ， 得,（1）當,對應主平面，其剪應力為零。（極小值）,第二組解：,第一組解：,對應于經(jīng)過主軸之一，而平分其他兩主軸夾角（與主平面成45°）的平面，其剪應力取極大值。,,,,,,,,,,,,設,，最大剪應力為：,剪應力極大值（六個面）：,（2）兩主應力相等，設,由第二式，得,方程的解為,由第一式自然滿足,表

18、示通過oz軸的平面，該組平面上，剪應力為零。,表示任一個與圓錐面相切的微分面。在該組面上剪應力取最大值。,,,,,,,,,,,,（3）三個主應力相等,空間任一方向都為主方向，即任一平面都是主平面，剪應力均為零。,該應力狀態(tài)稱為均勻受力狀態(tài)，也稱為靜水應力狀態(tài)。,§1-8 Mohr應力圓（自學）,,§1-9 應力張量的分解（應力球形張量與偏應力張量）,描述一點應力狀態(tài)的9個應力分量構成一個對稱應力張量,引入平均應力,

19、則,應力張量可分解為兩個張量之和,簡寫為,式中,稱 為應力偏量， 為應力球形張量， 為單位張量。,球形張量是代表各向均勻拉伸或壓縮的應力狀態(tài)。,球形張量應力（靜水應力）作用下，物體只產(chǎn)生各向相同的線應變而無剪應變。對應物體的體積改變，而形狀不變。,應力偏量代表各面正應力中偏離靜水應力的量，是正應力之和為零的應力狀態(tài)。該應力狀態(tài)下，物體的體積不改變而形狀改變。,靜水壓力實驗研究表明，在均勻受力情況

20、下，即使應力達到很大值，材料也不產(chǎn)生塑性變形。 故：應力球形張量不產(chǎn)生材料的塑性變形； 應力偏量是產(chǎn)生塑性變形的真正原因。,,應力偏量也是一種應力狀態(tài)，同樣存在著不變量。用 表示。,式中：,一、八面體應力以三個應力主方向為坐標軸，過物體中的一點作一外法線n與3個應力主方向有相同角度的斜面。即：由： 有:,§1-10八面體應力和等效應力,這樣的斜面稱為等

21、傾面，共8個，在空間構成一個八面體。,,,,,,,,,,,,,,,,由斜截面計算公式：,得,八面體平面上的應力在塑形理論中非常重要,比較 有,二、等效應力,設,單軸拉伸,主應力空間中任意一坐標點 代表物體一點的應力狀態(tài)。,三、主應力空間與 平面,由 為作標軸的直角坐標系，稱為主應力空間,,,,或：物體中一點的應力狀態(tài)在主應力空間中有

22、對應的坐標點。,,,,,,在主應力空間，過原點O作一條與3個坐標軸具有相同夾角的直線，該直線上的任意一點所代表的應力狀態(tài)有,為靜水壓力狀態(tài)，該直線為靜水壓力軸。,過原點O以靜水壓力軸為法線作一個平面，稱為 平面。,在 平面上， ，為偏應力狀態(tài) 。,,,,,,,,,,,,,,靜水壓力軸,重要公式：,一、應力狀態(tài)矩陣,二、斜面應力(Cauchy)公式,三、斜截面應力矢量，