第三章 z變換(數(shù)字信號(hào)處理)

1、3 序列的Z變換,3.1 Z變換的定義 序列x(n)的Z變換定義為,(3.1),式中z是一個(gè)復(fù)變量， 它所在的復(fù)平面稱為z平面。 注意在定義中， 對(duì)n求和是在±∞之間求和， 可以稱為雙邊Z變換。 還有一種稱為單邊Z變換的定義， 如下式,(3.2),使(3.3)式成立， Z變量取值的域稱為收斂域。 一般收斂域用環(huán)狀域表示,這種單邊Z變換的求和限是從零到無(wú)限大， 因此對(duì)于因果序列， 用兩種Z變換定義計(jì)算出的結(jié)

2、果是一樣的。 本書(shū)中如不另外說(shuō)明， 均用雙邊Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。 (3.1)式Z變換存在的條件是等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂， 要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和， 即,(3.3),圖 3.1 Z變換的收斂域,常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)， 用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示 分子多項(xiàng)式P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)， 分母多項(xiàng)式Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)。 在極點(diǎn)處Z變換不存在， 因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn)， 收斂域總是

3、用極點(diǎn)限定其邊界。 對(duì)比序列的傅里葉變換定義， 很容易得到FT和ZT之間的關(guān)系， 用下式表示：,(3.4),式中z=e jω表示在z平面上r=1的圓， 該圓稱為單位圓。 (3.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。 如果已知序列的Z變換， 可用(3.4)式， 很方便的求出序列的FT， 條件是收斂域中包含單位圓。 例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z變換。

4、 解： X(z)存在的條件是|z-1|1，,|z|>1,由x(z)表達(dá)式表明， 極點(diǎn)是z=1， 單位圓上的Z變換不存在， 或者說(shuō)收斂域不包含單位圓。 因此其傅里葉變換不存在， 更不能用(3.4)式求FT。 該序列的FT不存在， 但如果引進(jìn)奇異函數(shù)δ(ω)， 其傅里葉變換可以表示出來(lái)(見(jiàn)表2.3.2)。 該例同時(shí)說(shuō)明一個(gè)序列的傅里葉變換不存在， 在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的。,3.2 序列

5、特性對(duì)收斂域的影響 序列的特性決定其Z變換收斂域。 1. 有限長(zhǎng)序列 如序列x(n)滿足下式： x(n) n1≤n≤n2 x(n)= 0

6、 其它,,即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零， 此范圍之外序列值為零， 這樣的序列稱為有限長(zhǎng)序列。 其Z變換為,設(shè)x(n)為有界序列， 由于是有限項(xiàng)求和， 除0與∞兩點(diǎn)是否收斂與n1、 n2取值情況有關(guān)外， 整個(gè)z平面均收斂。 如果n10， 則收斂域不包括z=0點(diǎn)； 如果是因果序列， 收斂域包括z=∞點(diǎn)。 具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下：,n10時(shí)， 00時(shí)， 0<z≤∞ 例 3.2求x(n)=R

7、N(n)的Z變換及其收斂域  解：,這是一個(gè)因果的有限長(zhǎng)序列， 因此收斂域?yàn)?<z≤∞。 但由結(jié)果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點(diǎn)， 但同時(shí)分子多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)， 極零點(diǎn)對(duì)消， X(z)在單位圓上仍存在， 求RN(n)的FT， 可將z=ejω代入X(z)得到， 其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果(2.3.5)公式是相同的。,2. 右序列右序列是在n≥n1時(shí)，序列值不全為零，而其它n<

8、;n1，序列值全為零。 ROC：分析：當(dāng) n1 ≥0時(shí),第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列， 設(shè)n1≤-1， 其收斂域?yàn)?≤|z|＜∞。 第二項(xiàng)為因果序列， 其收斂域?yàn)镽x-<|z|≤∞， Rx-是第二項(xiàng)最小的收斂半徑。 將兩收斂域相與， 其收斂域?yàn)镽x- <|z|<∞。 如果x(n)是因果序列， 收斂域定為Rx- <|z|≤∞。 推論：如序列x(n)的Z變換的收斂域包含∞點(diǎn)，則x(n)是因果序列,例 3.3求x(

9、n)=anu(n)的Z變換及其收斂域 解：,在收斂域中必須滿足|az-1||a|。 3. 左序列 左序列是在n≤n2時(shí)， 序列值不全為零， 而在n>n2， 序列值全為零的序列。 左序列的Z變換表示為,當(dāng) n2≤0 當(dāng) n2>0第二項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列， 在整個(gè)Z平面收斂（ z=∞點(diǎn)不收斂）。 第一項(xiàng)根據(jù)前式的論述，當(dāng) 時(shí)收斂因此

10、左序列的收斂域是半徑為R+的圓內(nèi)區(qū)域,例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。,X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收斂域?yàn)閨z|<|a|,4. 雙邊序列 一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和， 其Z變換表示為,X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域。 如果Rx+>Rx-， 其收斂域?yàn)镽x- <|z|< Rx+ ， 這是一個(gè)環(huán)

11、狀域， 如果Rx+ < Rx- ， 兩個(gè)收斂域沒(méi)有公共區(qū)域， X(z)沒(méi)有收斂域， 因此X(z)不存在。 例 3.5 x(n)=a|n|， a為實(shí)數(shù)， 求x(n)的Z變換及其收斂域。 解：,第一部分收斂域?yàn)閨az||a|。 如果|a|<1， 兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a|-1， 其Z變換如下式：,|a|<|z|<|a|-1,如果|a

12、|≥1， 則無(wú)公共收斂域， 因此X(z)不存在。 當(dāng)0<a<1時(shí)， x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖3.2所示。,圖 3.2 例3.5圖,3.3 Z反變換 已知序列的Z變換及其收斂域， 求序列稱為Z反變換。 序列的Z變換及共Z反變換表示如下：,(3.5),1. 用留數(shù)定理求Z反變換 如果X(z)zn-1在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示， 根據(jù)留數(shù)定理,(3.6),式中

13、 表示被積函數(shù)X(Z)Zn-1在極點(diǎn)Z=Zk的留數(shù)， Z反變換則是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。 如果Zk是單階極點(diǎn)， 則根據(jù)留數(shù)定理,(3.7),,如果zk是N階極點(diǎn)， 則根據(jù)留數(shù)定理,(3.8),例 3.6 已知X(z)=(1-az-1)-1， |z|>a， 求其Z反變換x(n)。,為了用留數(shù)定理求解， 先找出F(z)的極點(diǎn)， 極點(diǎn)有： z=a; 當(dāng)n

14、<0時(shí)z=0共二個(gè)極點(diǎn)， 其中z=0極點(diǎn)和n的取值有關(guān)。 n≥0時(shí)， z=0不是極點(diǎn)。 n<0時(shí)， z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。 因此分成n≥0和n<0兩種情況求x(n)。 n≥0 時(shí)，,,n<0時(shí)， z=0的-n階極點(diǎn)，綜合以上二步可得,例 3.7已知 ， 求其反變換x(n)。

15、 解： 該例題沒(méi)有給定收斂域， 為求出唯一的原序列x(n)， 必須先確定收斂域。 分析X(z)， 得到其極點(diǎn)分布如圖3.5所示。 圖中有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1， 這樣收斂域有三種選法， 它們是 (1) |z|>|a-1|， 對(duì)應(yīng)的x(n)是右序列； (2) |a|<|z|<|z-1|， 對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列； (3)

16、|z|<|a|， 對(duì)應(yīng)的x(n)是左序列。,圖 3.5 例3.7 X(z)極點(diǎn)分布圖,下面按照收斂域的不同求其x(n)。 (1) 收斂域|z|>|a-1|,種收斂域是因果的右序列， 無(wú)須求n<0時(shí)的x(n)。 當(dāng)n≥0時(shí)， 圍線積分c內(nèi)有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1， 因此,最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。 (2) 收斂域|z|<|a|

17、 這種情況原序列是左序列， 無(wú)須計(jì)算n≥0情況， 當(dāng)n≥0時(shí)， 圍線積分c內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)， 因此x(n)=0。 n<0時(shí)， c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0， 且是n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和,最后將x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1) (3) 收斂域|a|<|z|<|a-1| 這種情況對(duì)應(yīng)的x(n

18、)是雙邊序列。 根據(jù)被積函數(shù)F(z)， 按n≥0和n<0兩情況分別求x(n)。 n≥0時(shí)， c內(nèi)極點(diǎn)z=a x(n)=Res［F(z), a］=an,n<0時(shí)， c內(nèi)極點(diǎn)有二個(gè)， 其中z=0是n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有z=a-1， 因此 x(n)=-Res［F(z), a-1］=a-n 最后

19、將x(n)表示為 an n≥0 x(n)= x(n)=a|n| a-n n<0,,,,2. 冪級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法) 按照Z(yǔ)變換定義

20、(3.1)式， 可以用長(zhǎng)除法將X(z)寫(xiě)成冪級(jí)數(shù)形式， 級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。 要說(shuō)明的是， 如果x(n)是右序列， 級(jí)數(shù)應(yīng)是負(fù)冪級(jí)數(shù)； 如x(n)是左序列， 級(jí)數(shù)則是正冪級(jí)數(shù)。 例 3.8已知 用長(zhǎng)除法求其Z反變換x(n)。 解由收斂域判定這是一個(gè)右序列， 用長(zhǎng)除法將其展成負(fù)冪級(jí)數(shù),,,,,1-az-1,例 3.

21、9 已知求 其Z反變換x(n)。 解：由收斂域判定，x(n)是左序列，用長(zhǎng)除法將X(z)展成正冪級(jí)數(shù),,,,,3. 部分分式展開(kāi)法 對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常常用這種部分分式展開(kāi)法求Z反變換。 設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項(xiàng)式是N階，分子多項(xiàng)式是M階，將X(

22、z)展成一些簡(jiǎn)單的常用的部分分式之和，通過(guò)查表(參考表3.1)求得各部分的反變換，再相加即得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展開(kāi)為,觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在z=zm的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)Am。,(3.11),(3.12),(3.13),(3.14),求出Am系數(shù)(m=0,1,2,…N)后，很容易示求得x(n)序列。,例3.10已知

23、 ，求Z反變換。,解,因?yàn)槭諗坑驗(yàn)?2。第二部分極點(diǎn)z=-3，收斂域應(yīng)取|z|<3。查表3.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 一些常見(jiàn)的序列的Z變換可參考表3.1。,表3.1 常見(jiàn)序列Z變換,3.4 Z 變換的性質(zhì)和定理 Z變換有許多重要的性質(zhì)和定理，下面進(jìn)行介紹。 1.線性 設(shè) X(z)

24、=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+ Y(z)=ZT［y(n)］, Ry- <|z|< Ry+ 則 M(z)=ZT［m(n)］ =aX(z)+bY(z), R m-<|z|<R m+ (3.15) Rm+=max［ Rx+,Ry+］

25、 Rm-=max［ Rx,Ry-］,,這里M(z)的收斂域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收斂域，如果沒(méi)有公共收斂域，例如當(dāng) R x+>R x->R y+>R y-時(shí)，則M(z)不存在。 2. 序列的移位 設(shè)X(z)=ZT［x(n)］, R x-<|z|<R x+ 則ZT［x(n-n

26、0)］=z-n0X(z), R x-<|z|<R x+ (3.16),3. 乘以指數(shù)序列 設(shè) X(z)=ZT［x(n)］, R x-<|z|<R x+ y(n)=anx(n), a為常數(shù) 則 Y(z)=ZT［anx(n)］ =

27、X(a-1 z) |a|R x-<|z|<|a|R x+ (3.17),證明,因?yàn)镽x-<|a-1 z|<Rx+，得到|a| Rx- <|z|<|a| Rx+ 。,4.序列乘以n設(shè),則,(3.18),證明,5.復(fù)序列的共軛 設(shè),則,證明,(3.19),6.初值定理 設(shè) x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(

28、n)］,(3.20),證明,因此,7.終值定理 若x(n)是因果序列，其Z變換的極點(diǎn)，除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1上，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則,(3.21),,證明,因?yàn)閤(n)是因果序列，,因?yàn)?z-1)X(z)在單位圓上無(wú)極點(diǎn)，上式兩端對(duì)z=1取極限,終值定理也可用X(z)在z=1點(diǎn)的留數(shù)，因?yàn)?(3.22),因此如果單位圓上，X(z)無(wú)極點(diǎn)，則x(∞)=0。,8. 序列卷積 設(shè),則,證

29、明,W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。,例3.11已知網(wǎng)絡(luò)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n),|a|<1，網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。 解：y(n)=h(n)*x(n) 求y(n)可用二種方法，一種直接求解線性卷積，另一種是用Z變換法。,由收斂域判定y(n)=0,n<0。 n≥0 y(n)=Res［Y(z

30、)z n-1,1］+Res［Y(z)z n-1,a］,將y(n)表示為,9.復(fù)卷積定理如果 ZT［x(n)］=X(z)， R x-<|z|<R x+ ZT［y(n)］=Y(z), R y-<|z|<R y+ w(n)=x(n)y(n)則,W(z)的收斂域,(3.24)式中v平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)?(3.

31、24),(3.25),(3.26),證明,由X(z)收斂域和Y(z)的收斂域，得到,例3.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］ 解：,因此,W(z)收斂域?yàn)閨a|<|z|≤∞；被積函數(shù)v平面上收斂域?yàn)閙ax(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|)，v平面上極點(diǎn)：a、a-1和z,c內(nèi)極點(diǎn)z=a。,10.帕斯維爾(Pa

32、rseval)定理 利用復(fù)卷積定理可以證明重要的帕斯維爾定理。,那么,v平面上，c所在的收斂域?yàn)?證明 令 w(n)=x(n)·y*(n) 按照(3.24)式，得到,按照(3.25)式，R x-R y-<|z|<R x+R y+，按照假設(shè)，z=1在收斂域中，令z=1代入W(z)中。,如果x(n)和y(n)都滿足絕對(duì)可和，即單位圓上收斂，在上式中令v=e jω，得到,(3.29),令x

33、(n)=y(n)得到,上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕期維爾定理(2.2.34)式是相同的。(3.28)式還可以表示成下式：,3.5 利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性,3.5.1 頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù) 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)對(duì)單位脈沖序列δ(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，對(duì)h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(e jω),(3.5.1),一般稱H(e jω)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，它表征系

34、統(tǒng)的頻率特性。,設(shè)h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對(duì)N階差分方程(1.4.2)式，進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式,(3.5.2),如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(e jω)與H(z)之間關(guān)系如下式：,(3.5.3),3.5.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 因果(可實(shí)現(xiàn))系統(tǒng)其單位脈響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n<0時(shí)，

35、h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點(diǎn)，即∞點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個(gè)圓的圓內(nèi)，收斂域在某個(gè)圓外。 一個(gè)穩(wěn)定線性系統(tǒng)的充要條件是H(z)的收斂域包含單位圓。一個(gè)線性系統(tǒng)是因果的充要條件是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域Z=∞一個(gè)穩(wěn)定因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域1≤|z|≤∞一個(gè)穩(wěn)定因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi),例3.5.1已知

36、 分析其因果性和穩(wěn)定性. 解：H(z)的極點(diǎn)為z=a，z=a-1，如圖3.5所示。 (1)收斂域a-1<|z|≤∞，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an-a-n)u(n)(參考例題3.7)，這是一個(gè)因果序列，但不收斂。 (2)收斂域0≤|z|＜a,對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)

37、。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(參考例題3.7)，這是一個(gè)非因果且不收斂的序列。,(3)收斂域a<|z|<a-1，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是一個(gè)非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個(gè)收斂的雙邊序列，如圖3.5.1(a)所示。,圖3.5.1,3.5.3 利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性 將(3.5.2)式因式分解，得到,(3.5.4),

38、式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零點(diǎn)，dr是其極點(diǎn)。A參數(shù)影響頻率響應(yīng)函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點(diǎn)cr和極點(diǎn)dr 的分布。下面我們采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響。,在z平面上，ejω-cr用一根由零點(diǎn)cr指向單位圓上ejω點(diǎn)B的向量 表示，同樣ejω-dr用內(nèi)極點(diǎn)指向ejω點(diǎn)B的向量 表示，如圖3.5.2所示。,和 分別稱為零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量，將它們

39、用極坐標(biāo)表,將 和 表示式代入(3.5.7)式，得到,(3.5.8),(3.5.9),系統(tǒng)的傳輸特性或者信號(hào)的頻率特性由(3.5.8)式和(3.5.9)式確定。當(dāng)頻率ω從零變化到2π時(shí)，這些向量的終點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，按照(3.5.8)式(3.5.9)式，分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性。例如圖3.5.2表示了具有一個(gè)零點(diǎn)和二個(gè)極點(diǎn)的頻率特性。,圖3.5.2 頻響的幾何表示法,3.5.2 已知

40、H(z)=z-1，分析其頻率特性 解：由H(z)=z-1，極點(diǎn)為z=0，幅度特性 |H(e jω)|=1,相位特性φ(ω)=-ω，頻響如圖3.5.3所示。 用幾何方法也容易確定，當(dāng)ω=0轉(zhuǎn)到ω=2π時(shí)，極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度始終為1。由該例可以得到結(jié)論，處于原點(diǎn)處的零點(diǎn)或極點(diǎn)，由于零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度或者是極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度始終為1，因此原點(diǎn)處的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的頻率特性。,圖3.5.3 H(z)=z