第十一講 估計(jì)水箱水流量模型

1、第十一講 估計(jì)水箱水流量模型,一、問(wèn)題的提出 隨著社會(huì)和經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，環(huán)境和資源問(wèn)題日益突出，水便是其中的主要問(wèn)題之一。1997年聯(lián)合國(guó)水資源會(huì)議曾鄭重向全世界發(fā)出警告：“水，不久將成為繼石油危機(jī)之后的下一個(gè)社會(huì)危機(jī)”。我國(guó)是一個(gè)缺水的國(guó)家，人均水資源擁有量?jī)H為2150m3/a（按13億人計(jì)），不到世界人均水平的四分之一，排在世界第109位。特別是“三北”（東北、華北和西北）地區(qū)和經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的沿海地區(qū)，水的供需矛盾已十分突

2、出。有關(guān)資料表明，我國(guó)每年因缺水而,影響工業(yè)產(chǎn)值已達(dá)2300多億元。預(yù)計(jì)到本世紀(jì)末，全國(guó)年總需水量將達(dá)到700億m3，而缺水量也將達(dá)到70億m3，水資源短缺已成為制約我國(guó)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展的重要因素。某些地區(qū)的用水管理機(jī)構(gòu)為了達(dá)到節(jié)約用水的目的，需估計(jì)公眾的用水速度（單位是G/h）和每天總用水量的數(shù)據(jù)。現(xiàn)在許多地方?jīng)]有測(cè)量流入或流出水箱流量的設(shè)備,而只能測(cè)量水箱中的水位（誤差不超過(guò)5%）。當(dāng)水箱水位低于某最低水位L時(shí)，水泵抽水，灌入水箱

3、內(nèi)直至水位達(dá)到最高水位H為止，但是也無(wú)法測(cè)量水泵的流量，因此在水泵啟動(dòng)時(shí)不易建立水箱中水位和水泵工作時(shí)用水量之間關(guān)系。水泵一天灌水1～2次，每次約2h。試估計(jì)在任意,法測(cè)量水泵的流量，因此在水泵啟動(dòng)時(shí)不易建立水箱中水位和水泵工作時(shí)用水量之間關(guān)系。水泵一天灌水1～2次，每次約2h。試估計(jì)在任意時(shí)刻(包括水泵灌水期間)流出水箱的流量，并估計(jì)一天的總用水量。 表1給出了某鎮(zhèn)中某一天的真實(shí)用水?dāng)?shù)據(jù)，表中測(cè)量時(shí)間以秒為單位，水位以E為單位

4、。例如3316s以后，水箱中的水深降至31.10E時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)把水輸入水箱；而當(dāng)水位回升至35.5E時(shí)，水泵停止工作。 本問(wèn)題中使用的長(zhǎng)度單位為E(=30.24cm）;容積單位為G(=3.785L(升))。水箱為圓柱體，其直徑為57E.,表1 真實(shí)用水?dāng)?shù)據(jù),二、問(wèn)題的分析 1. 數(shù)據(jù)變換：水位與時(shí)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為水箱中水的體積與時(shí)間的關(guān)系. 2. 探求水箱中水的流量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)。,,三、模型假設(shè) 1

5、．除了問(wèn)題中特別說(shuō)明的數(shù)據(jù)以外，其它給定的數(shù)據(jù)其測(cè)量誤差不超過(guò)5%。 2．影響水箱流量的唯一因素是該區(qū)公眾對(duì)水的普通需要。所給的數(shù)據(jù)反映該鎮(zhèn)在通常情況下一天的用水量，不包括任何非常情況，如水箱中水的短缺、水管破裂、自然災(zāi)害等。,由托里查里（Torricelli）定律，從水箱中流出水的最大速度與水位高的平方成正比。對(duì)于所給的數(shù)據(jù)，其水位的最大高度為35.5E，最小高度為27E，因此對(duì)兩個(gè)高度的最大流速比為 ，這個(gè)數(shù)字已

6、很接近1，所以可以假,定水位對(duì)流速?zèng)]有影響。類似地，還假設(shè)大氣情況，溫度變化等對(duì)水流速均無(wú)直接影響。,3．水泵的灌水速度為常數(shù)，不隨時(shí)間變化也不是已灌水量的函數(shù)，因此假設(shè)水泵大約在水位27E時(shí)開(kāi)始灌水，在水位35.5E時(shí)停止灌水。同時(shí)假設(shè)水泵不會(huì)損壞或不需要維護(hù)。 4．從水箱中流出的最大流速小于水泵的灌水速度。為了滿足公眾的用水需求不讓水箱中的水流盡。 5．每天的用水量分布都是相似的。因?yàn)楣妼?duì)水的消耗量是以全天的活

7、動(dòng)（諸如洗澡、做飯、洗衣服等）為基礎(chǔ)的，所以每日用水類型是相似的。,6．水箱的流水速度可用光滑曲線來(lái)近似。每個(gè)用戶的用水需求量與整個(gè)區(qū)的用水需求量相比微不足道，而且它與整個(gè)社區(qū)需求量的增減情況是不相似的。,四、分析與建模 引入如下記號(hào)： V、Vi — 水的容積，時(shí)刻ti水的容積G）； ti — 時(shí)刻（h）； p — 水泵的灌水速度（G/h）; T0 — 初始數(shù)據(jù)

8、的當(dāng)天測(cè)量時(shí)間; T — 當(dāng)天的時(shí)間（以24小時(shí)制）; f(t) — 流出水箱的流速是時(shí)間的函數(shù)（G/h）;,根據(jù)需要先將表2中的數(shù)據(jù)作變換，即 ，其中R表示水塔底面半徑，L(t)表示時(shí)刻t時(shí)水箱的水位高度，秒（s）變換為小時(shí)（h），水位高變換為水的體積，得到表2。,表2 水量數(shù)據(jù),從此表的數(shù)據(jù)可知,在水泵的第二次抽水時(shí)間區(qū)間內(nèi),從水箱中流出的平均流速必定大于第一次抽水時(shí)

9、的流速。因?yàn)榈诙喂嗨畷r(shí)間長(zhǎng)得多。但是，第二次水泵停止灌水的確切時(shí)刻是未知的，在水泵第二次灌水后所測(cè)得的水位與水泵實(shí)際停止運(yùn)行的水位是不同的,因此,水泵停止運(yùn)行的時(shí)刻一定在圖2右邊陰影部分兩次測(cè)量時(shí)間之間.我們需要估計(jì)水泵開(kāi)始和停止灌水的時(shí)間. 水泵第一次約在8.968h后開(kāi)始運(yùn)行的,因?yàn)檫@時(shí)水箱中水的體積約為514800G,水泵停止灌水時(shí)間在10.926h～10.954h之間的0.028長(zhǎng)的區(qū)間內(nèi)。,我們可以確定水泵第二次開(kāi)始

10、運(yùn)行時(shí)間為20.839h,因?yàn)檫@時(shí)水的體積又為14800G ,也可確定水泵第二次停止運(yùn)行時(shí)間為22.958h, 這是由于在緊接著的測(cè)量時(shí)刻23.88h測(cè)得水的體積為663400G,與水泵停止時(shí)的水位67700G相比流掉了14300G。 計(jì)算出在相鄰時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)及在時(shí)間區(qū)間內(nèi)水箱中流出水的平均速度，并將其列成表3,并劃出其散點(diǎn)圖。,表3 流量數(shù)據(jù),下面就對(duì)表3的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,最后對(duì)其積分計(jì)算出每天的用水總量。借助于軟件包（

11、Mathematica）用9次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，得,擬合的復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.980767,t 的定義由下式給出.,,似乎采用9階多項(xiàng)式有些過(guò)分難，其實(shí)，數(shù)據(jù)的波動(dòng)決定了只有采用高階多項(xiàng)式擬合才能提高數(shù)據(jù)擬合的準(zhǔn)確性。采用低于9階多項(xiàng)式擬合，其復(fù)相關(guān)系數(shù)不是很大，因此，我們選擇了9階多項(xiàng)式進(jìn)行回歸擬合。另外，f 為多項(xiàng)式時(shí)，容易進(jìn)行積分。,已假定水泵的灌水速度為一常數(shù)，同時(shí)知道在水泵抽水時(shí)，水箱中水的體積平均變化速度?V/?t應(yīng)近似等于水泵

12、的灌水速度p減去這段時(shí)間從水箱中流出水的平均流速，所以、 p可表示為,,這里f(t)在?t區(qū)間的兩端點(diǎn)間進(jìn)行積分。,如果此模型確實(shí)準(zhǔn)確地模擬了這些數(shù)據(jù)，那么在不同的灌水周期中，按此模型計(jì)算出的水泵灌水速度應(yīng)近似為常數(shù)。下面，通過(guò)水泵開(kāi)始和停止工作的兩段區(qū)間檢驗(yàn)這一點(diǎn)。,,?t1區(qū)間內(nèi)f(t)的平均值為,,,所以，,,?t2區(qū)間內(nèi)f(t)的平均值為,計(jì)算得到的p1與p2相差僅3.6%，此結(jié)果足以支持該模型。,由于假設(shè)了在全天中從水箱里流

13、出的水流量是平穩(wěn)的,且我們所得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)非常接近于水泵抽水的開(kāi)啟和停止時(shí)間，因此，在水泵第一次灌水時(shí)情況就不同了，因?yàn)閺谋?-3估計(jì)得到水泵開(kāi)啟和停止時(shí)水的流速相差1000G/h，且數(shù)據(jù)沒(méi)有給出水泵停止灌水的近似數(shù)據(jù)點(diǎn)，因此,在第二此灌水時(shí)得到的平均流速要比實(shí)際平均流速小很多。,五、模型求解 由上面的“分析余建?！敝械玫剿牧魉俸瘮?shù)f(t)在t= 0.46 (h)和t=24.46(h)時(shí)的值分別近似為14170 G/h和1373

14、0 G/h,相差僅3%，從而可認(rèn)為得到了f(t)的連續(xù)性。于是，一天里的用水總量近似地等于曲線f(t)在24小時(shí)周期內(nèi)的積分 這個(gè)數(shù)字近似對(duì)應(yīng)于水箱總體積的1.5倍。因?yàn)榘闯Ｒ?guī)每1000人的用水量為105000(G/d),其中d為天，因此估計(jì)這個(gè)區(qū)大約有3200人。,,從f(t)也可求得流出水箱的平均流速 還可求得水泵的平均流速為,六、模型的評(píng)價(jià)

15、 1.優(yōu)點(diǎn) (1) 模型的主要優(yōu)點(diǎn)是證實(shí)了水泵的灌水速度是常數(shù),這也是我們所期望的。 (2) 如果所給數(shù)據(jù)反映了該社區(qū)的通常情況,那么 可適合于一天的任何時(shí)刻。,(3) 任意時(shí)刻從水箱中流出水的流速都可通過(guò)多項(xiàng)式模型計(jì)算出來(lái)。 (4) 用9次多項(xiàng)式曲線擬合所給的數(shù)據(jù)其復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.981, 且回歸值與原始數(shù)據(jù)點(diǎn)沒(méi)有很大的波動(dòng)。 (5) 在24小時(shí)周期的端點(diǎn),模型的取值非常接近,可以推測(cè)幾天的流速

16、。 (6) 人們自然會(huì)將用水量與用電量聯(lián)系起來(lái),特別是對(duì)家庭不用天然氣的情況。例如，燒飯需要大量的水來(lái)洗碗。同時(shí)燒飯和照明等也要用電,洗澡的耗水量也很大 ,并伴隨著電力的消耗(熱水器、電吹風(fēng)等)。通過(guò)調(diào)查比較得到,用水分布類型是及其相似的。,2. 缺點(diǎn) (1) 該模型的一個(gè)主要缺點(diǎn)就是數(shù)據(jù)太少,只能參照一天的數(shù)據(jù),而對(duì)任何現(xiàn)象建模時(shí),最好有在不同條件下很多天所采集的數(shù)據(jù)。 (2) 如果知道水泵的抽水速度,就能更好