不同定義下輔角主值與反角函數(shù)正切的關(guān)系

1、不同定義下輔角主值與反三角函數(shù)正切的關(guān)系不同定義下輔角主值與反三角函數(shù)正切的關(guān)系黃小琳（安康學(xué)院數(shù)學(xué)系陜西安康725000）摘要：非零復(fù)數(shù)有三種表示方法：代數(shù)形式、三角形式、指數(shù)形式。這幾Z種表示方法可以相互轉(zhuǎn)換，以適應(yīng)討論不同問(wèn)題的需要，且用起來(lái)各有其便。在將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化成三角形式時(shí)，由于任意非零復(fù)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)輔角，故因規(guī)定Z的取值范圍的不同，將會(huì)產(chǎn)生不同的主輔角。本文將在不同定義一下，探討輔角主值與反三角函數(shù)正切的關(guān)系。關(guān)鍵字關(guān)鍵字：主

2、輔角；反正切；關(guān)系；預(yù)備知識(shí)：1.復(fù)數(shù)的輔角：實(shí)軸正向到非零復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量ZiyxZ??間的夾角合于稱為復(fù)數(shù)的輔角，記為.OZxy??tanZArgZ??2.復(fù)數(shù)的主輔角:復(fù)數(shù)的輔角在某一特定范圍內(nèi)的一個(gè)特ZZ定值稱為的主值，即Z的主輔角，記為。ArgZZarg對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)我們可以借助于平面上橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為的iyxZ??xy點(diǎn)來(lái)表示，于是能夠建立平面上全部的點(diǎn)合全體復(fù)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)然我們也可以用極坐標(biāo)與來(lái)確定復(fù)數(shù)在平面中的位置

3、：用向量來(lái)表示復(fù)數(shù)r?ZOZ，其中順次等于沿軸與軸的分量。則向量的長(zhǎng)度稱為iyxZ??yxOZxyOZ復(fù)數(shù)的模，用表示；實(shí)軸正向與非零向量間的夾角記為，對(duì)于每一確定rOZ?的都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。)(?rZ我們定義為復(fù)數(shù)的輔角，顯然對(duì)于任意復(fù)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)輔角。于是有?Z規(guī)定在某一特定范圍內(nèi)復(fù)數(shù)的輔角的一個(gè)特定值為的主輔角。然而在不同ZZ定義范圍內(nèi)，輔角主值與反三角函數(shù)正切又有不同的關(guān)系。（注意：當(dāng)0?Z時(shí)，輔角無(wú)意義。）1.1.對(duì)于任

4、意非零復(fù)數(shù)對(duì)于任意非零復(fù)數(shù)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，主輔角時(shí)，主輔角與反正切與反正切iyxZ???????ZargZarg的關(guān)系的關(guān)系xyArctan1.1當(dāng)向量在平面第一，四象限時(shí)OZ????????22arctan??xy?????????22arg????0arg??ZZ????????????????????????????????????????.00200arctan00arctan00200arctanyxyxxyyxxyyxyxxy?

5、???2.2.對(duì)于任意非零復(fù)數(shù)對(duì)于任意非零復(fù)數(shù)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，主輔角與時(shí)，主輔角與反正切反正切iyxZ???2arg0??Zarg的關(guān)系的關(guān)系xyArctan??0arg??ZZ??????????????????????????????????????.0023002arctan00arctan00200arctanyxyxxyyxxyyxyxxy????例1設(shè)，且，則_________________.32zi???????arg??Z

6、argz?A)B)C)D)32arctan23arctan??32arctan??32arctan由題我們可判斷出復(fù)數(shù)所形成的向量在平面的第三象限，又iZ23???OZ因?yàn)?，?的圖表可得，故選C.????arg??Z???xyZarctanarg例2設(shè)復(fù)數(shù)且與的關(guān)系為_(kāi)________；43iZ?????20arg?ZZargxyarctan若，那么與的關(guān)系又為_(kāi)________。????arg??ZZargxyarctan由題我們可