從一道趣味數學題談起

1、從＋＋＝2談起123265(1)等式＋＋＝2的左端是3個形如且不相同的分數(m為1232651?mm自然數)，它們的和等于2。由此猜想，是否存在4個這樣的分數，它們的和等于3。顯然，用解不定方程＋＋＋＝3(p，q，r，s；都是自然數)1?pp1?qq1?rr1?ss的辦法是比較繁難的，不如用分析推理的方法直接去求這4個分數。為了便于敘述，把要求的4個分數按照從小到大的順序，分別稱為第一個分數、第二個分數、……取第一個分數為；其余3個分數

2、的和是312－＝2，2可以看作2＋，由此推知第二個分數應該大于，取第1212121212二個分數為；其余兩個分數的和是2－＝1，1可以看作1＋321232656565，由此推知第三個分數應該大于，取第三個分數為；l－＝；657665764241恰好是一個形如的分數，即第四個分數為。于是得到本題的42411?mm4241一組解：，，，。1232764241由此進一步猜想，是否存在5個這樣的分數，它們的和等于4。仍用上面的思路，取第一個分數

3、為；其余4個分數的和是4－＝3，312121212可以看作3＋，由此推知第二個分數應該大于，取第二個分數為；121232其余3個分數的和是3－＝2，2可以看作2＋，由此推知第三1232656565個分數應該大于，取第三個分數為；其余兩個分數的和為2－＝657665761，1可以看作1＋，由此推知第四個分數應該大于，取第四4241424142414241如，求6個形如且不相同的分數(m為自然數)，使它們的和等1?mm于5。本題n＝6，根據

4、表中n＝5時的解，前4個分數為，，；1232764342第五個分數是＝；第六個分數是＝1180611805??1807180618071806118071806???32634423263441。檢驗：＋＋＋＋＋12327643421807180632634423263441＝3263442326344132616363187548279723621756281631721?????＝＝5326344216317210完全正確。有了這個

5、方法我們就可以不斷地把問題向前推進，求出相應的解。(2)形如的分數(m是自然數)，最小的是，接下去依次是，1?mm123243，，……這個數列(m＝12，3，…)有一個性質，任意取數列中54651?mm的一個分數，加上1再減去它后面緊接著的那個分數所得的差一定還是一個形如的分數。1?mm如＋1－＝，＋1－＝，＋1－＝，……＋1123265324312114354209109－＝，……1110110109＋1－＝，……7574767557