橢圓之十宗“最”

1、橢圓的十個“最”橢圓的十個“最”◎李遠(yuǎn)敬（遼寧省本溪市機(jī)電工程學(xué)校117022）【摘要】在長期的教學(xué)中，筆者經(jīng)常會遇到或想到橢圓的一些“最”值問題，學(xué)生們也需要教師給予解答和總結(jié)，筆者精選了橢圓十個“最”值問題，供師生們參考?！娟P(guān)鍵詞】橢圓；焦點；最大值；最小值1橢圓弦長的最大值、最小值橢圓弦長的最大值、最小值（1）橢圓的最長弦長是橢圓的長軸的長。橢圓上的最大弦長是否是橢圓的長軸的長？看起來似乎是顯然的。但證明起來也挺繁瑣，具體見參考文

2、獻(xiàn)[1]。（2）橢圓過原點的最短弦長是橢圓的短軸的長。在橢圓（）內(nèi)構(gòu)造內(nèi)接圓，由圖形結(jié)合易證。12222??byax0??ba222byx??（3）橢圓過焦點的弦通徑最短。abl2min2?教學(xué)參考書上有證明。2橢圓的一焦點與橢圓上點的距離最大值、最小值橢圓的一焦點與橢圓上點的距離最大值、最小值已知P()是橢圓（）上的點，是橢圓的右焦點，0x0y12222??byax0??ba)0(2cF則的最大值是，最小值是。2PFca?ca?證明：

3、證明：由焦半徑公式得=。當(dāng)=時，=，當(dāng)=2PF0exa?0xa?max2PFca?0xa時，=。min2PFca?3軸正半軸上的點到橢圓的最短距離軸正半軸上的點到橢圓的最短距離x已知橢圓（），為半焦距長，則點（，0）＞0到橢圓的最12222??byax0??bactt短距離為?????????????actatactcatbt22222220證明：證明：設(shè)點A（，0）＞0點P()為橢圓上任意一點，則有ttyx，由得的對稱軸22)(yxt

4、AP???12222??byax)(222222xfbttxxacAP?????為，由于，結(jié)合圖像可得：22ctax?axa???=＋－=－＋?！摺唷?x)1(222axb?2c2b2c222xacax?220ax??當(dāng)=時，取得最大值是－＋=，當(dāng)=0時，取得xa21PFPF?2b2c222aac2bx21PFPF?最小值是－。2b2c7.橢圓上的點為頂點與橢圓兩焦點所成的最大角橢圓上的點為頂點與橢圓兩焦點所成的最大角已知已知點P()是

5、橢圓（）上的動點，、yx12222??byax0??ba)0(1cF?分別是橢圓的左、右焦點。則當(dāng)P為短軸端點時，∠最大，最大值為)0(2cF21PFFarccos。222acb?證明：∵證明：∵≤==，∴當(dāng)且僅當(dāng)=21PFPF?221)2(PFPF?222??????a2a21PFPF?a時，即P點為短軸端點時成立。在△中，由余弦定理得21PFF∠==cos21PFF2122122212PFPFFFPFPF??212212212)2(

6、2)(PFPFcPFPFPFPF???==。當(dāng)取最大值時，21212222)2()2(PFPFPFPFca??1222122??PFPFca21PFPF?2a∠最小，∵在[]是減函數(shù)，∴∠最大，∠cos21PFFxycos??021PFFcos最小值為==。得∠最大，最大值為21PFF122222??aca222222aaca??222acb?21PFFarccos。222acb?8.橢圓的點到一條直線距離的最大值、最小值橢圓的點到一條