完全四點(diǎn)四線(xiàn)型論文

1、楚雄師范學(xué)院(Chuxiong(ChuxiongNmalNmalUniversity)University)楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)高等幾何小論文姓名范秀蘭學(xué)號(hào)20091021261專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)2009級(jí)定理2：設(shè)C、D是完全四線(xiàn)形abcd的一對(duì)對(duì)頂點(diǎn)，它們的連線(xiàn)是對(duì)頂線(xiàn)x，若x與其它二對(duì)頂點(diǎn)的交點(diǎn)是A、B，則有（AB，CD）=1。推論1：到達(dá)完全四線(xiàn)形的對(duì)頂三線(xiàn)形的每個(gè)頂點(diǎn)有一

2、組調(diào)和共軛線(xiàn)束，其中兩直線(xiàn)是對(duì)頂線(xiàn)，另兩條直線(xiàn)此頂點(diǎn)與第三條對(duì)頂線(xiàn)上兩對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)。如圖2中，E（BA，CD）=1等。推論2：在完全四線(xiàn)形的每個(gè)頂點(diǎn)上，有一組調(diào)和線(xiàn)束，其中兩條邊是過(guò)此點(diǎn)的兩邊，在另一對(duì)線(xiàn)偶里，一條是對(duì)頂邊，另一條是這個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)頂三線(xiàn)形的頂點(diǎn)的連線(xiàn)。如圖2中，F(xiàn)（BACD）=1等。上述定理及推論的證明可祥見(jiàn)于高等幾何》（朱德祥編）。利用上述性質(zhì)我們可以較為簡(jiǎn)單明了地解決許多初等幾何的問(wèn)題，以使得初幾與高幾的學(xué)習(xí)能夠融合貫

3、通，并從中體現(xiàn)高幾對(duì)初幾的指導(dǎo)作用。三、應(yīng)用舉例1、證明平分線(xiàn)段問(wèn)題例1四邊形ABCD的對(duì)邊AB與CD交于MBC與AB交于N直線(xiàn)MN平行于四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上求證：另一對(duì)角線(xiàn)AC平分線(xiàn)段MN。證明：如圖3所示，設(shè)平行線(xiàn)BD與MN交與，AC與MN交于P，視四邊形ABCD為完全四點(diǎn)?Q形（或四線(xiàn)型），則MN為完全四點(diǎn)形ABCD的對(duì)邊三點(diǎn)行的一條邊，由定理1的推論1或定理2，易得（MN)=1即（MN)=(MNP)==1?PQ?PQNP

4、MP故P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，從而對(duì)角線(xiàn)AC平分線(xiàn)段MN。由此題的證明過(guò)程不難證明其逆命題成立。逆命題：四邊形ABCD的對(duì)邊AB、CD交于MBC、AD交于N，對(duì)角線(xiàn)AC平分線(xiàn)段MN，求證：直接MN平行于四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD。由以上說(shuō)明，這一類(lèi)初等幾何問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造四邊形，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為完全四點(diǎn)（線(xiàn)）形的問(wèn)題，然后用其調(diào)和性極易得到解決。圖4圖5圖62.證明平分角度問(wèn)題例2設(shè)X為⊿ABC的高線(xiàn)AD上的任一點(diǎn)，BX、CX延長(zhǎng)線(xiàn)交對(duì)邊于Y、