北大離散數學chap5

1、代數系統(tǒng)簡介,這部分內容屬于近世代數的范疇，近世代數是研究具有運算的集合，它第一次揭示了數學系統(tǒng)的多變性與豐富性。代數結構理論可用于計算機算法的復雜性分析，研究抽象數據結構的性質及操作，同時也是程序設計語言的理論基礎。我們將介紹代數系統(tǒng)的最基本概念和最基本理論，以及幾類常用的代數系統(tǒng)，它們是：半群，幺半群，群，環(huán)，域，格和布爾代數。本課程在第五，六章中介紹代數系統(tǒng)的內容。,第五章 代數系統(tǒng)的一般性質,第一節(jié) 二元運算及性質,內容：二

2、元運算，運算律，特殊元素。,重點：(1) 一元和二元運算的概念，,一般：吸收律，消去律，冪等律。,一、二元運算。,一、二元運算。,但減法，除法不是。,但除法不是。,上求相反數的運算是一元運算。,但加法，減法不是，,而求倒數是一元運算。,3、一元，二元運算表。,解：,二、有關運算律。,二、有關運算律。,三、一些特殊元素。,注：(1) 若幺元存在必唯一。,從而沒有幺元。,注：(1) 若零元存在必唯一。,從而也沒有零元。,3、逆元：,(1),

3、解：加法，乘法都不是二元運算。,(2),解：加法不是二元運算，,乘法是二元運算。,(3),解：加法，乘法都是二元運算。,(4),解：加法不是二元運算，,乘法是二元運算。,(5),解：加法不是二元運算，,乘法是二元運算。,，滿足結合律。,時，無逆元。,例7、設,，二元運算,和,定義，問運算,如下表,和,是否可交換的；是否有零元；,是否有幺元；如果有幺元，指出哪些元素有逆元；,逆元是什么？,(1),沒有零元，,是幺元，,互為逆元。,(2),

4、是左零元，,是幺元，,(2),解：但它們的逆元都不存在。,四、其它一些運算律和特殊元素。(了解),四、其它一些運算律和特殊元素。(了解),四、其它一些運算律和特殊元素。(了解),3、冪等元。,上的加法運算都不滿足冪等律，,但它們都有冪等元，幺元就是冪等元。,第二節(jié)　代數系統(tǒng)及其子代數　　和積代數,內容：代數系統(tǒng)，子代數，積代數。,了解：積代數的概念。,一、代數系統(tǒng)。,1、定義：,2、代數常數 (特異元素)。,二、子代數系統(tǒng)。,1、定義

5、：,2、平凡子代數，真子代數。,三、積代數。,例如：,例如：,和,的積代數為,，,，,，,第三節(jié) 代數系統(tǒng)的同態(tài)與同構,內容：代數系統(tǒng)的同態(tài)映射，同構映射。,一、同態(tài)映射，同構映射的概念。,1、定義：,滿同態(tài)，記,單同態(tài),同構，記,但不是單同態(tài),則對,2、自同態(tài)，自同構。,則對,則對,則對,3、同態(tài)，同構概念的推廣。,二、性質。,二、性質。,第五章 小結與例題,一、二元運算及其性質。,1、基本概念。,一元運算和二元運算；二元運算的結合

6、律，交換律，分配律，冪等律，吸收律，消去律；二元運算的特殊元素：幺元，零元，逆元；一元運算和二元運算的運算表。,一、二元運算及其性質。,2、運用。,(2) 求幺元，零元，逆元。,(3) 列出一元運算和二元運算的運算表。,二、代數系統(tǒng)及其子代數和積代數。,1、基本概念。,代數系統(tǒng)；子代數；積代數。,2、運用。,判斷代數系統(tǒng)的子集能否構成子代數系統(tǒng)。,三、代數系統(tǒng)的同態(tài)與同構。,1、基本概念。,同態(tài)，單同態(tài)，滿同態(tài)；同構。,2、運用。,(1

7、) 實數集,解：加、減、乘是二元運算，,除不是二元運算。,(2) 非零實數集,解：加、減不是二元運算，,乘、除是二元運算。,(3) 正整數集,解：加、乘是二元運算，,減、除不是二元運算。,(4),解：乘是二元運算，,加、減、除都不是二元運算。,(5),解：乘、除是二元運算，,加、減不是二元運算。,(1) 求,解：,解：因對任意的正整數,(3) 求幺元，零元。,不存在零元。,解：,解：對任意的,(3) 求幺元。,解：對任意的,故0是幺元。