實(shí)數(shù)連續(xù)性互相證明

1、關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性的基本定理關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性的基本定理04級統(tǒng)計系張祥淳2005年5月摘要：摘要：這七個定理雖然出發(fā)的角度不同，但描寫的都是實(shí)數(shù)連續(xù)性這同一件事，它們之間是相互這七個定理雖然出發(fā)的角度不同，但描寫的都是實(shí)數(shù)連續(xù)性這同一件事，它們之間是相互等價的，即任取其中兩個定理，它們可以相互證明。它們在證明過程中相互聯(lián)系。對同一個定理的證明，等價的，即任取其中兩個定理，它們可以相互證明。它們在證明過程中相互聯(lián)系。對同一個定理的證明，雖然不同

2、的定理作為工具會使證明有簡繁之分，有的用的是類似的證明方法，有的出發(fā)點(diǎn)與站的角度不雖然不同的定理作為工具會使證明有簡繁之分，有的用的是類似的證明方法，有的出發(fā)點(diǎn)與站的角度不同，但最后卻都能殊途同歸。而有時使用同一個定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，還可以有不同，但最后卻都能殊途同歸。而有時使用同一個定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，還可以有不同的細(xì)節(jié)。作為工具，它們又各具特點(diǎn)。而這些都是值得我們?nèi)プ⒁馀c發(fā)現(xiàn)。同的細(xì)節(jié)。作為工

3、具，它們又各具特點(diǎn)。而這些都是值得我們?nèi)プ⒁馀c發(fā)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：實(shí)數(shù)基本定理實(shí)數(shù)基本定理確界定理確界定理單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理區(qū)間套定理區(qū)間套定理有限覆蓋定理有限覆蓋定理緊致性定理緊致性定理柯西收斂定理柯西收斂定理等價證明等價證明(一)實(shí)數(shù)基本定理的出現(xiàn)實(shí)數(shù)基本定理的出現(xiàn)歷史車輪的轉(zhuǎn)離不開數(shù)學(xué)的發(fā)展。十七世紀(jì)，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茨各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，推動了科學(xué)技術(shù)的前進(jìn)。然而，貝克萊對牛頓理論的攻擊，將無窮小量嘲

4、笑為“消失的量的靈魂”，卻真正抓住了牛頓理論的缺陷。一方面，微積分在應(yīng)用中大獲成功；一方面其自身卻存在著邏輯矛盾。至十九世紀(jì)，由十七、十八世紀(jì)積累下來的矛盾到了非解決不可的程度。使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作由法國著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步。他給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義。1823年，柯西給出了“柯西收斂定理”。而早在1817年，波爾察諾就確切地陳述了有界實(shí)數(shù)集的最小上界（即上確界）的定義。利用他的思想，魏爾斯特拉斯在19世紀(jì)60年代

5、證明了“波爾察諾—魏爾斯特拉斯緊致性定理”。海涅于1872年提出，波萊爾于1895年完善并證明了“有限覆蓋定理”。1872年，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金“分劃”理論，康托的“基本序列”理論及魏爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列”理論，同時在德國出現(xiàn)了！1892年，巴赫曼提出了建立實(shí)數(shù)理論的一個重要原理——區(qū)間套原理。由此，沿柯西開辟的道路建立起來的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作，從而使微積分學(xué)這座數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了

6、牢固可靠的基礎(chǔ)之上。以上的定理表述如下：實(shí)數(shù)基本定理實(shí)數(shù)基本定理：對R的每一個分劃A|B，都?唯一的實(shí)數(shù)r，使它大于或等于下類A中的每一個實(shí)數(shù)，小于或等于上類B中的每一個實(shí)數(shù)。確界定理確界定理:在實(shí)數(shù)系R內(nèi)非空的有上(下)界的數(shù)集必有上(下)確界存在。單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理:若數(shù)列單調(diào)上升有上界，則必有極限。nxnx區(qū)間套定理區(qū)間套定理:設(shè)｛｝是一個區(qū)間套則必存在唯一的實(shí)數(shù)rr使得r包含在所有的區(qū)間里即[na]nb。????1][nn

7、nbar有限覆蓋定理有限覆蓋定理:實(shí)數(shù)閉區(qū)間[ab]的任一覆蓋E必存在有限的子覆蓋。緊致性定理緊致性定理：有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列?？挛魇諗慷ɡ砜挛魇諗慷ɡ恚涸趯?shí)數(shù)系中，數(shù)列有極限存在的充分必要條件是：nxa=A，且有ar，這是不可能的。因此r是X的上界，而由于，20rx???brB，b???上?r是X的最小上界。同理可證下確界的情形。定理證完。3實(shí)數(shù)基本定理實(shí)數(shù)基本定理區(qū)間套定理區(qū)間套定理?證明：設(shè)｛｝是一個區(qū)間套，令，，則是的一個分劃

8、。[na]nb|naxnxA???ARB?BA|R事實(shí)上，，即非空；由的定義，不漏；，，則，Aa?1Bb??11BABBAAa??Bb???，故，即不亂。故確是的一個分劃。由實(shí)數(shù)連續(xù)性定理，存在唯一的實(shí)數(shù)nabn??ba?BABA|R，使得，，有。rAa??Bb??bra??下證。因為，由的定義，，故。又，有，則????1][nnnbarn?AAan?ran?mn?nmba?，從而。即。Bbn?nbr?????1][nnnbar最后證明

9、唯一性。若有滿足，，則rr?????1][nnnbar?????1][nnnbar)(0||???????nabrrnn故。即這樣的是唯一的。定理證完。rr??r二用單調(diào)有界定理證明其它定理1單調(diào)有界定理→實(shí)數(shù)基本定理單調(diào)有界定理→實(shí)數(shù)基本定理證明：給定實(shí)數(shù)的一個分劃，任取，。用，的中點(diǎn)二等分[1a，]，如果Aa?1Bb?11a1b211ba?1b，則取=1a，=；如果，則取=，=；……211ba?B?2a2b211ba?211ba?A

10、?2a211ba?2b1b如此繼續(xù)下去，便得兩串序列。其中單調(diào)上升有上界（例如），單調(diào)下降有下nanbAan?1bBbn?界（例如）并且=。由單調(diào)有界定理，知r，使=r1annab?211ab?)(??n???nlimna（）=0（）=r??nlimnnab????nlimnannab?A，有（n=1，2，……），令，知r?a?a?nb??na?，有（n=1，2，……），令，知rBb??na?b??n?b?bra??下面證明唯一性。用反