實(shí)數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明

1、實(shí)數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明 實(shí)數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明摘 要:循環(huán)論證了實(shí)數(shù)系的 6 個(gè)基本定理,并最終形成所有完美的論證環(huán),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)論證之美.關(guān)鍵詞: 實(shí)數(shù) 完備性 單調(diào)有界定理 區(qū)間套定理 有限覆蓋定理 聚點(diǎn)定理 柯西收斂準(zhǔn)則 確界原理 (單調(diào)有界定理) 任何單調(diào)有界數(shù)列必定收斂．(區(qū)間套定理） 設(shè) 為一曲間套： {[ , ]} n n a b1. 1 1 [ , ] [ , ], 1,2, , n

2、 n n n a b a b n ? ? ? ? ?2.lim( ) 0 n n n b a?? ? ?則存在唯一一點(diǎn) [ , ], 1,2, . n n a b n ? ? ? ?(有限覆蓋定理) 設(shè) 是閉區(qū)間 的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋，即 {( , )} H ? ? ? [ , ] a b中每一點(diǎn)都含于 中至少一個(gè)開(kāi)區(qū)間 內(nèi)．則在 中必存在有限個(gè)開(kāi) [ , ] a b H ( , ) ? ?區(qū)間，它們構(gòu)成 的一個(gè)有限開(kāi)覆蓋． [ , ] a

3、 b(聚點(diǎn)定理) 直線上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集 至少有一個(gè)聚點(diǎn) ，即在 的任 S ? ?意小鄰域內(nèi)都含有 中無(wú)限多個(gè)點(diǎn)（ 本身可以屬于 ，也可以不屬于 ）． S ? S S(柯西準(zhǔn)則) 數(shù)列 收斂的充要條件是： N，, 恒 { } n a 0, N ? ? ? ? ? n N ? 、m有 ．（后者又稱為柯西（ 柯西（Cauchy）條件 ）條件，滿足柯西條件的數(shù)列又稱為 | - |0,若 S,都有 - ,則存在有理數(shù) ,使 -- .即 是數(shù)

4、x ? ? ? ? ? ? x? ? S x? ? ? ?集 的最小上界. S于是,我們證明了所需結(jié)論.3．用單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理證 1.設(shè)有理數(shù) ( , ] ,使區(qū)間[ , ]能被 中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.把[ ? ? a b a ? H a, ]上的這種有理數(shù)的全體排成一個(gè)數(shù)列{ }.因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)開(kāi)區(qū)間( b n ? ?, ) 使 ( , ),在( , ) [ , ]內(nèi)含有無(wú)窮多個(gè)有理數(shù),所 ? ? H ? ? ? ? ?

5、? ? a b以{ }是存在的; n ?2.將數(shù)列{ }單調(diào)化,取 =max{ , , , },則數(shù)列{ }單調(diào)遞增有上 n ? n x 1 ? 2 ? ? n ? n x界;3.由單調(diào)有界定理得, = , 且 ，n=1,2, ; ? lim n x x?? n ? ? n x ? ? ?4.因 [ , ], n=1,2, ,由 3.得 [ , ],故 必在 中的某個(gè)開(kāi)區(qū) n x ? a b ? ? ? a b ? H間( , )中

6、.再由 3.,一定有 { } ,使 < .又由 1.[ , ] 1 ? 1 ? N ? ? n ? 1 ? N ? ? ? a N ?能被 中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.故只需把( , ) 加進(jìn)去. [ , ] 能被 H 1 ? 1 ? a ? H中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.若 = ,則說(shuō)明[ , ]能被 H 中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.用反證法.若 < ? b a b ?,由于內(nèi)[ , ]的有理數(shù)在上處[ , ]處稠密,故一定存在有理數(shù) , b a

7、 b a b ? ?使得 < <min{ , } ,這樣一來(lái),[ , ] 能被 中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋. ? ? ? 1 ? b a ? ? H故 { } ,與 3.矛盾.所以 = . ? ? ? n ? ? b4.用單調(diào)有界定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證 若 收斂，設(shè) “ “ ? { } n a lim n n a a?? ?則有對(duì) ， ，當(dāng) 時(shí)有︱ ︱ ? 0 ? ? 0 N ? ? n N ? n a a ? / 2