2011清華大學(xué)自主招生試題數(shù)學(xué)

1、2011年自主招生華約數(shù)學(xué)試題年自主招生華約數(shù)學(xué)試題一、選擇題(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|1且則|z|=()15||2zz??4321ABCD5432解：由得，已經(jīng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù)的方程。解得|z|=215||2zz??25||1||2zz??（舍去），。12(2)在正四棱錐PABCD中，M、N分別為PA、PB的中點(diǎn)，且側(cè)面與底面所成二面角的正切為。則異面直線DM與AN所成角的余弦為()21111ABCD36812[分析]本題有許多條件，可以

2、用“求解法”，即假設(shè)題中的一部分要素為已知，利用這些條件來(lái)確定其余的要素。本題中可假設(shè)底面邊長(zhǎng)為已知（不妨設(shè)為2），利用側(cè)面與底面所成二面角可確定其他要素，如正四棱錐的高等。然后我們用兩種方法，一種是建立坐標(biāo)系，另一種是平移其中一條線段與另一條在一起。解法一：如圖，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2，則由側(cè)面與底面所成二面角的正切為得高為2。如圖建立坐標(biāo)系，則A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，P(0，20，)，則，。2

3、112112()()222222MN?312132()()222222DMAN?????????????設(shè)所成的角為θ，則。1cos6DMMAN????????????A?????????zONMDCBAPyx[分析]題目中的條件是通過(guò)三個(gè)圓來(lái)給出的，有點(diǎn)眼花繚亂。我們來(lái)轉(zhuǎn)化一下，就可以去掉三個(gè)圓，已知條件變?yōu)椋害O1O2邊O1O2上一點(diǎn)C，OO1、OO2延長(zhǎng)線上分別一點(diǎn)A、B，使得O1A=O1C，O2B=O2C。解法一：連接，C在上

4、，則，12OO12OO1221OOOOOO???????，，故111212OACOCAOOO?????222112OBCOCBOOO?????，1212211()22OCAOCBOOOOOO???????????，。12()2OCAOCB???????????sincos2???解法二：對(duì)于選擇填空題，可以用特例法，即可以添加條件或取一些特殊值，在本題中假設(shè)兩個(gè)小圓的半徑相等，則，12212OOOOOO???????，1212124OC

5、AOCBOOO?????????，。12()2OCAOCB???????????sincos2???(6)已知異面直線a，b成60角。A為空間一點(diǎn)則過(guò)A與a，b都成45角的平面()A有且只有一個(gè)B有且只有兩個(gè)C有且只有三個(gè)D有且只有四個(gè)[分析]已知平面過(guò)A，再知道它的方向，就可以確定該平面了。因?yàn)樯婕暗狡矫娴姆较?，我們考慮它的法線，并且假設(shè)a，b為相交直線也沒關(guān)系。于是原題簡(jiǎn)化為：已知兩條相交直線a，b成60角，求空間中過(guò)交點(diǎn)與a，b都