小學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)模型(2)

1、小學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)模型 王永春,一、 對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識　數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。　在義務(wù)教育階段，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號表達(dá)的數(shù)學(xué)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型?！?shù)學(xué)模型思想是基本的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式和圖表、圖形，因而它與符號化方法有很多相似之處。,二、數(shù)學(xué)模型的重要性　數(shù)學(xué)模

2、型在當(dāng)今市場經(jīng)濟(jì)和信息化社會已經(jīng)有比較廣泛的應(yīng)用；因而，模型方法在數(shù)學(xué)方法中有非常重要的地位。如果說符號化方法更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達(dá)，那么模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實中的各種問題；當(dāng)然，把現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象的過程。,2011版課標(biāo)與原課標(biāo)相比有了較大變化，在課程內(nèi)容的十大核心概念中是唯一以“思想”出現(xiàn)的，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建

3、立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識”。 　模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一。,2011版課標(biāo)在總目標(biāo)中指出： 經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能?！】傊?，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、

4、提出問題、分析問題和解決問題的能力。當(dāng)學(xué)生理解并掌握了各種基本的數(shù)學(xué)模型后，面對變化多端的數(shù)學(xué)問題時，可以利用已有的模型求解，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而不至于被各種雜亂的表面信息所迷惑。,三、模型思想的教學(xué)１.使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗證”的數(shù)學(xué)活動過程?！◇w現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)2011》中模型思想的基本要求，也有利于學(xué)生在過程中理解、掌握有關(guān)知識、技能，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質(zhì)?！∵@個過程與問題解決的過程有相似之處

5、。,2. 重視對數(shù)學(xué)模型的解構(gòu)、表征和變式。 “建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是提取加還原的過程”[1]也就是說在讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程后，還要注重模型的多種表征形式，包括模型的還原、生活化。這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生建模的能力。如用方程解決問題就是一個建模的過程。陳千舉老師《方程》一課體現(xiàn)了這一理念。[1]吳正憲、張秋爽《對數(shù)學(xué)核心概念的思考》，2012年《課程教材教法》增刊。,３.數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)是一個長期的過程?！〉湍昙墝W(xué)生的基礎(chǔ)知識目

6、標(biāo)達(dá)到的水平、語言理解水平、思維水平、生活經(jīng)驗等各方面因素都決定了學(xué)生的建模能力培養(yǎng)的艱巨性、長期性。 低年級的數(shù)學(xué)模型主要是應(yīng)用加、減、乘、除及混合運算解決簡單的實際問題，重點是讓學(xué)生理解和掌握四則運算的概念，這是培養(yǎng)學(xué)生模型思想的基礎(chǔ)。　傳統(tǒng)上，應(yīng)用題按類型進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生死記硬背一些關(guān)鍵詞和公式。這樣做的結(jié)果是沒有抓住問題的核心，沒有真正培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，及抽象思維能力。,長期以來，我國的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育有一個重

7、視訓(xùn)練技能的傳統(tǒng)，這是對的。但是一定要建立在基礎(chǔ)知識扎實的基礎(chǔ)上，這是最重要的。　磨刀不誤砍柴工，在基礎(chǔ)知識扎實基礎(chǔ)上的技能訓(xùn)練能夠事半功倍；否則反之，有些老師進(jìn)行題海訓(xùn)練但成績不理想，道理就在于此?！』A(chǔ)知識包括：概念、法則、性質(zhì)、定律、公式等。要讓學(xué)生達(dá)到：了解　→理解　→掌握　→運用的水平?！≡僮寣W(xué)生經(jīng)歷、體驗、探索數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的過程。,以加法為例，學(xué)生對加法的理解有一個逐步抽象概括的過程。　加法的情境和題型非常豐富，從開

8、始的兩個數(shù)相加，,用６、７的加法解決問題，,10以內(nèi)的連加，３個數(shù)相加,打破了加法是熟悉情境的傳統(tǒng)。需要從加法的概念入手，去理解用加法計算的道理。,一下：同數(shù)相加的加法,二上：求比一個數(shù)多幾的數(shù)。,二上：連續(xù)兩問的問題。,二上：多個數(shù)相加。,案例１：二年級１班男生有26 人，女生有29人。二年級１班一共有多少學(xué)生？案例２：二年級１班男生有26 人，女生比男生多３人。二年級１班有多少女生？案例３：二年級１班男生有26 人，男

9、生比女生少３人。二年級１班有多少女生？　第３題傳統(tǒng)上是反敘的應(yīng)用題，難度較大，低年級不再編排。同時說明有部分學(xué)生對加法的概念還沒有達(dá)到理解和掌握的水平?！嶋H上即使用方程解決此類問題，也需要學(xué)生理解“男生比女生少３人”這句話，才能正確列出方程。,需要學(xué)生理解各種生活語言，不僅僅是看到一共用加法，如前面案例，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：　a＋b＋c＋…＝　最后抽象概括出“把若干個數(shù)合并成一個數(shù)的運算，就是加法”。,再比如等式的性質(zhì)，如何做

10、到真正理解和掌握。,有些老師會問形如a－x=b, a÷x=b的方程如何解。說明對等式的性質(zhì)還沒有完全理解和掌握，等式的性質(zhì)中說的數(shù)可以是已知數(shù)，也可以是未知數(shù)。,4．?dāng)?shù)學(xué)建?？煞譃橐韵聨讉€層次?！〉谝?，學(xué)生可以經(jīng)歷構(gòu)建模型的探索過程?！‖F(xiàn)實生活中已有的數(shù)學(xué)模型基本上是數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家等科學(xué)家們把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各個科學(xué)領(lǐng)域經(jīng)過艱辛的研究創(chuàng)造出來的，使得我們能夠享受現(xiàn)有的成果。　　　如阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿定律：平衡的杠桿，物體到

11、杠桿支點的距離之比，等于兩個物體質(zhì)量的反比，即Ｆ1：Ｆ2＝Ｌ2：L1。在學(xué)習(xí)了反比例關(guān)系以后，可以利用簡單的學(xué)具進(jìn)行操作實驗，探索杠桿定律。 　再如各種圖形的周長、面積、體積公式的探索，運算定律的探索等等。,第二，有些數(shù)學(xué)模型，由學(xué)生進(jìn)行探索是有難度的?！∪缥矬w運動的路程、時間和速度的關(guān)系為s=vt，利用這個基本模型可以解決各種有關(guān)勻速運動的簡單的實際問題。但是由于這個模型比較抽象，不適合學(xué)生進(jìn)行探索。教師只需要通過現(xiàn)實模擬或者動

12、畫模擬，使學(xué)生能夠理解模型的意義便可。再如反比例關(guān)系等，讓學(xué)生進(jìn)行實驗探究也是有難度的，可借助表格的數(shù)據(jù)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解概念。,第三，應(yīng)用已經(jīng)掌握的模型解決問題。　前面兩條說的是新知識的學(xué)習(xí)，第3條說的是學(xué)生學(xué)習(xí)了教材上的各種基本模型以后，利用已有知識解決新的更加復(fù)雜的各種問題，能夠舉一反三。如方程、正比例、反比例、植樹問題、雞兔同籠、找次品、抽屜原理等。,以植樹問題為例，可以封閉圓圈植樹為核心模型，演變出其他模型。 點

13、與間隔一一對應(yīng)，長度÷間隔=棵數(shù)。再根據(jù)實際情況演變出其他模型?！∫欢嗽砸欢瞬辉裕洪L度÷間隔=棵數(shù) 兩端都栽：長度÷間隔+1=棵數(shù)　兩端都不栽：長度÷間隔－1=棵數(shù),四、 小學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)模型(一)數(shù)與代數(shù)1. 用數(shù)字和圖形表示有規(guī)律的數(shù)列或圖形。,一下，找規(guī)律,找規(guī)律，填數(shù)。 1，6，11，16，21， ，…。 這列數(shù)中小于100的最大數(shù)是

14、 ，第n項是 ?！＝5n+1，96。 一個一個地加是算術(shù)思維，建模是代數(shù)思維。低年級讓學(xué)生感受、了解數(shù)學(xué)模型，在高年級，注意從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，培養(yǎng)代數(shù)思維。,2. 數(shù)的運算。a+b=c，c－a =b, c－b＝a，a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b, c÷b＝a　四則運算關(guān)系式是小學(xué)數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)模型，其他很多模型都是在此基礎(chǔ)上的進(jìn)一步發(fā)展。

15、,運算律的探索過程也是建模的過程。,3. 數(shù)量關(guān)系式?！r間、速度和路程：s=vt　數(shù)量、單價和總價：a=np,工效×時間＝工作總量單產(chǎn)×面積=總產(chǎn) 耗油量/千米×千米數(shù)=總耗油量消耗量/天×天數(shù)=總消耗量 合格率=合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)× 100%發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)÷種子總數(shù)× 100%出勤率=實際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)

16、× 100%,以上數(shù)量關(guān)系式的變式也很重要，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和辯證思維能力。速度一定：路程／時間＝定值　　單價一定：總價／數(shù)量＝定值　　工效一定：工作總量／時間＝定值單產(chǎn)一定：總產(chǎn)／面積=定值耗油量/千米一定：總耗油量／千米數(shù)=定值,下面討論以數(shù)學(xué)模型為核心的問題解決的教學(xué)?！鹘y(tǒng)上應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)是與四則運算、混合運算相匹配，包括有連續(xù)兩問的應(yīng)用題、相似應(yīng)用題的比較，現(xiàn)在有問題串，這些都是很好的做法和經(jīng)驗，是

17、知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。這種結(jié)構(gòu)是線性的。以基本模型和問題為核心，構(gòu)建問題鏈，可以是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而最大限度地整合豐富多彩的問題。,以s＝vt為例，模型結(jié)構(gòu)圖如下，a是常數(shù)。請老師自己編題。,案例1：甲地到乙地原來運行的是動車，上午8時出發(fā)中午12時到達(dá)，運行路程是700千米?，F(xiàn)在運行的是高鐵，每小時比動車快105千米，上午8時出發(fā)，幾時到達(dá)？分析：(1)此題是生活中的實際問題，屬于時間、速度、路程的問題，要解決的問題是求高鐵的運行時間,

18、t=s÷v。(2)S不變，v比原來大，可用t1=s÷(v+a)的數(shù)學(xué)模型。(3)根據(jù)題中的信息, v=700 ÷4=175，a=105。 所以v+a=175+105=280。則t1=700÷280＝2.5。(4)高鐵8時出發(fā)，10:30 到達(dá)。,案例2：甲乙兩地相距1200米，王老師以每分80米的速度從甲地向乙地步行，同時一只狗以每分120米的速度從甲地向乙地跑去，到達(dá)乙地后立即往回

19、跑，與王老師相遇后，繼續(xù)重復(fù)以上動作，直到王老師到達(dá)乙地為止。這只狗一共跑了多少米？ 分析：這道題的本質(zhì)是關(guān)于s、v、t之間的數(shù)量關(guān)系，s=vt這一模型。求的是狗的s，v已經(jīng)知道了，需要先求出t；表面上看狗跑來跑去不知如何計算路程，實際上狗跑的時間與王老師走的時間是相等的?！『茱@然，王老師走的時間很容易求出來?！?t＝1200÷80＝15(分)　s＝120×15=1800(米),4. 用字母表示數(shù)、代數(shù)

20、式、方程、函數(shù)。ax+b=c正比例關(guān)系：y/x=k反比例關(guān)系：xy=k,(1)方程和函數(shù)的概念?！》匠毯秃瘮?shù)是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的重要工具，它們都可以用來描述現(xiàn)實世界的各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，將二者放在一起進(jìn)行討論。,①方程?！　『形粗獢?shù)的等式叫方程。方程按照未知數(shù)的個數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這些都是初

21、等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中最基本的內(nèi)容。方程思想的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號（常用χ、y等字母）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型?！　》匠趟枷塍w現(xiàn)了已知與未知的對立統(tǒng)一。,②函數(shù)?！≡O(shè)集合Ａ、Ｂ是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系?，如果對于集合Ａ中的任意一個數(shù)χ，在集合Ｂ中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱y是χ的函數(shù)，記作y＝?(χ)。其中χ叫做自變量，χ的取值范圍Ａ叫做函數(shù)的定義域，y叫做函數(shù)或因

22、變量，與χ相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍叫做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的，自變量只有一個，與之對應(yīng)的函數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也相應(yīng)發(fā)生變化，中學(xué)里學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等都是這類函數(shù)。,實際上現(xiàn)實生活中還有很多情況是一個變量會隨著幾個變量的變化而相應(yīng)地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學(xué)里不

23、學(xué)習(xí)多元函數(shù)，但實際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：Ｖ＝πr²h。半徑和高有一對取值，體積就會相應(yīng)地有一個取值。 函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關(guān)系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應(yīng)法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型?！　　　『瘮?shù)思想體現(xiàn)了運動變化的觀點。,(2) 方程和函數(shù)的關(guān)系?！男W(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過

24、程。算術(shù)研究具體的確定的常量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。方程研究確定的常量和未知的常量或變量之間的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系。,方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們有本質(zhì)的區(qū)別。如一元一次方程中的未知數(shù)是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如2χ－4＝6。而函數(shù)至少要有兩個變量，兩個變量依據(jù)一定的法則相對應(yīng)，呈現(xiàn)的形式

25、可以有解析式、圖象法和列表法等，如集合Ａ為大于等于1 、小于等于10的整數(shù)，集合Ｂ為小于等于20的正偶數(shù)。那么兩個集合的數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系可以用y＝2χ表示，也可以用圖象表示，還可以用如下的表格表示。,人們運用方程思想，一般關(guān)注的是通過設(shè)未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學(xué)問題和實際問題。人們運用函數(shù)思想，一般更加關(guān)注變量之間的對應(yīng)關(guān)系，通過構(gòu)建函數(shù)模型并研究函數(shù)的一些性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題和實際問題。方程中的

26、未知數(shù)有時是靜態(tài)的、有時是動態(tài)的，而函數(shù)中的變量則一定是動態(tài)的。方程已經(jīng)有3000多年的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過才300年。,方程中的未知數(shù)有時是動態(tài)的， 如圓的方程： x² + y² = 1, 雖然x、y在區(qū)間[-1，1]內(nèi)可以取任意數(shù)值，x和y可以理解為變量，但不是函數(shù)關(guān)系，因為每對確定的絕對值相等x的值（0除外），如+0.6、-0.6，都有兩個y的值與之對應(yīng)，如+0.8、-0.8。不滿足函數(shù)的自變量與

27、因變量一對一或者多對一的法則。 　如果把圓的方程變換為半圓的方程： y = 　　。 就可以看成y是x的函數(shù)。,(3) 方程和函數(shù)的教學(xué)。方程和函數(shù)是中小學(xué)數(shù)學(xué)，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。方程和函數(shù)在研究和構(gòu)建現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系模型方面，發(fā)揮著重要的作用。 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中比例的內(nèi)容，比例的應(yīng)用，一般用含有一個未知數(shù)的比例關(guān)系式解決問題。偏向于方程思想，忽視了函數(shù)思想。,某地某時物體的影長與

28、該物體的高度成正比例，小蘭的身高為1.5m，影長為2.4m。 (1)任意物體影長與高度的正比例關(guān)系式為 。(2)此時此地測得一棵樹的影長為4m，這棵樹高 m。,案例1：媽媽買了3千克香蕉和2千克蘋果，一共花了21元。蘋果的價格是香蕉的2倍，蘋果和香蕉的單價各是多少？　分析：題目涉及的是商品的數(shù)量、單價和總價的關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價×數(shù)量＝總價”進(jìn)行分析，題中出現(xiàn)了兩種商品，總

29、價也是兩種商品的總價。所以等量關(guān)系應(yīng)為“香蕉的單價×香蕉的數(shù)量＋蘋果的單價×蘋果的數(shù)量＝總價”。再根據(jù)這個等量關(guān)系找出題中已知的量，總價21元、香蕉的數(shù)量3千克和蘋果的數(shù)量2千克。未知的是香蕉和蘋果的單價，也就是題目中要求的量。設(shè)香蕉的單價是χ元／千克，蘋果的單價是y元／千克。,根據(jù)題意，可列出如下方程。3χ＋2y＝21，y＝2χ。根據(jù)等量代換的原理，兩個方程可合并成一個方程，3χ＋2 × 2χ＝21。這

30、是在小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到含有有關(guān)系的兩個未知數(shù)的方程時能夠直接列出一個方程的依據(jù)。如和倍、差倍、雞兔同籠等問題，用方程解決也是利用了這個原理。解方程，χ＝3, y＝6。,案例2：小明家的果園供游人采摘桃，每千克10元。請寫出銷售桃的總價(總收入)y元與數(shù)量(千克數(shù)) χ之間的關(guān)系式。如果某天的銷量是50千克，這天的總收入是多少？如果上個月的總收入是12000元，上個月的銷量是多少千克？　分析：此題涉及的也是商品的單價、數(shù)量和總價的關(guān)系，仍然

31、要根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價×數(shù)量＝總價”進(jìn)行分析。根據(jù)題意，已知的量是單價，未知的量是總價和數(shù)量，題目已經(jīng)告訴我們分別用y和χ表示。因為桃的單價一定，所以它的總價與數(shù)量成正比例，可列關(guān)系式：y＝10χ。某天的銷量是50千克，總收入是500元。上個月的總收入是12000元，銷量是1200千克。,案例2與案例1相比較，都有兩個量分別用y和χ表示。案例1中的y和χ雖然是未知的量，但是它們實際上是具體的靜止的常量，都有一個確定的值，通過解方

32、程可以得到它們的值。案例2的兩個量y和χ則是相關(guān)聯(lián)的變化的量，χ的取值可以是一定范圍內(nèi) (果園內(nèi)桃子總質(zhì)量的最大值以內(nèi)) 的任何一個數(shù)，y隨χ的變化而變化。只有y和χ中的一個量取一個具體的值時，另一個量才會相應(yīng)地取一個具體的值。如案例2中的具體問題的解答。,案例3:無限循環(huán)小數(shù)0.777…和0.747474…如何化成分?jǐn)?shù)？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？分析：根據(jù)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)比較容易進(jìn)行。由于無限小數(shù)的數(shù)位是無限的，不能直接用有

33、限小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行。根據(jù)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)不斷重復(fù)出現(xiàn)的特點，循環(huán)節(jié)有幾位數(shù)字，就把這個循環(huán)小數(shù)乘10的幾次方；它的左起第一個循環(huán)節(jié)就變成了整數(shù)部分，而循環(huán)小數(shù)部分不會改變；二者的小數(shù)部分相同，二者的差為循環(huán)節(jié)變成的整數(shù)部分。,因此，可利用差倍問題的原理，列方程解決問題。如設(shè)χ＝0.777…，那么10χ＝7.777…,求它們的差， 10χ－χ＝7，解方程，χ＝　　，所以0.777…＝　　。同理可得，100χ－χ＝74，χ

34、＝　　　，所以0.747474…＝　　。無限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律是，把循環(huán)節(jié)作為分子，循環(huán)節(jié)有幾位數(shù)字，分母就是由幾個9組成的幾位數(shù)。,案例4:2006年廣州市中考題。,目前廣州市小學(xué)和初中在校生共有約１２８萬人，其中小學(xué)生在校人數(shù)比初中生在校人數(shù)的２倍多１４萬人。（１）求目前廣州市在校小學(xué)生人數(shù)和初中生人數(shù)。（２）假設(shè)今年小學(xué)生每人需交雜費５００元，初中生每人需交雜費１００元，而這些費用全部由廣州市政府撥款解決，則廣州市要為此

35、撥款多少？,分析：上題與人教版小學(xué)五上Ｐ７０例３相比，稍復(fù)雜。,5.用符號表示變化規(guī)律。 實際上就是函數(shù)。 數(shù)列的變化規(guī)律:1,４,９,１６,２５,…　an=n² 圖形的變化規(guī)律,小棒的根數(shù)：y=3x+1,,,,,,,(二)圖形與幾何1.用圖形表示空間和平面結(jié)構(gòu)。 這部分內(nèi)容就是小學(xué)所學(xué)的平面圖形和立體圖形，及相關(guān)的物體，并且這些物體和圖形是用數(shù)量、幾何特征進(jìn)行清晰表達(dá)的?！∪绾侥?、汽車模型、圖紙、微

36、縮景觀、商品房小區(qū)模型、,,,2. 用字母表示周長、面積和體積公式。,,,,３. 用圖表直觀表示解決問題的方法?！☆愃朴趲缀沃庇^，是一種非常直觀的模型?！∪缃鉀Q排列組合問題，可以利用樹狀圖。,案例1:(1)有2件不同的上衣、3條不同的褲子，一共有多少種穿法？ (2)有2件不同的上衣、3條不同的褲子、2雙不同的鞋，一共有多少種穿法？,案例2:甲乙兩人玩“石頭、剪刀、布”，一共有多少種可能出現(xiàn)的結(jié)果？,(三)統(tǒng)計與概率

37、用統(tǒng)計圖表描述和分析各種信息。作為公民而言，學(xué)會收集、分析數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，進(jìn)行判斷和決策，學(xué)會用數(shù)據(jù)說話，非常重要。 日常生活：如何購物最省錢 科學(xué)研究：定量研究 投資理財：買房、存款、國債、保險、股票、基金 經(jīng)營管理：市場調(diào)研分析、績效考核、產(chǎn)品投產(chǎn)決策、營銷決策,五、小結(jié) 總而言之，小學(xué)數(shù)學(xué)6年的時間，學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個漫長的積累、成長過程，需要扎實穩(wěn)步地推進(jìn)，如何讓學(xué)生學(xué)得又好又活是一個復(fù)雜