第1219屆北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽全部試題解答

1、第十二屆北京市大學(xué)生（非數(shù)學(xué)專業(yè)）數(shù)學(xué)競賽 第十二屆北京市大學(xué)生（非數(shù)學(xué)專業(yè)）數(shù)學(xué)競賽 本科甲、乙組試題 本科甲、乙組試題 （2000 年 10 月 14 日 上午 9:00~11:30） 準(zhǔn)考證號 姓名 學(xué)校 注意：本考題共九題 注意：本考題共九題.甲組九題全做，乙組只做前七題 甲組九題全做，乙組只做前七題. 一、填空題（滿分 20 分，甲組限半小時

2、做完，于 9:30 收回） 1．若 2 0 tan (1 cos ) lim 2 ln(1 2 ) (1 ) x x a x b xx c e? → + ? = ? + ?，則 = a . 2．若2 0 zx y? = ? ?，且當(dāng) 時， ；當(dāng) 0 x = sin z y = 0 y = ， sin z x = ，則 = z . 3．01! nnn∞=+ ∑= . 4．設(shè)冪級

3、數(shù) 的收斂域為 ，則冪級數(shù)0 ( 1)n n n a x∞= + ∑ ( 4,2) ?0 ( 3)n n n na x∞=? ∑ 的收斂區(qū)間為 . 5．2 1 1 1 ( )0xt tdt e dx ∫ ∫= . 6．設(shè) 1 1, , 2 , x x x y y e y e y e π = = = = + 都是某二階常系數(shù)線性微分方程的解，則此二階常系數(shù)線性微分方程為

4、 . 7．設(shè)數(shù)列{ } n x 滿足： 1 1 sin ( 2)sin 1 1 n n x n n n> ) )C3( r xdx ydy zdz + + ∫ ，其中 2 2 r x y z2 = + + . 二 、 設(shè) 是 上 遞 減 的 連 續(xù) 函 數(shù) ， 且 ， 證 明 數(shù) 列 { ( ) f x (0, ) +∞ ( ) 0 f x > } n a 收 斂 ， 其 中. 1 1 ( ) ( )n nn k a f k

5、 f x= = ? ∑ ∫ dx3 ． 設(shè)2 10 2 ( ) 1 12x x f x1 x x? ≤ ≤ ? ? = ? ? ?， 若 ( ) y f x = 的 一 個 拐 點 是 ， 則 0 ( ,3) xβ = . 5．設(shè) 11x yx+ = ?，則 (10)0 x y = = . 6．4 4 4 1(1 ) 1 dx x x + + ∫ = + . C7．設(shè) 具

6、有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ( ) f x (0) 0, (0) 1 f f ′ = = ，則200 20( )lim( ( ) )xx xf t dtf t dt→ ∫∫= . 8．設(shè) 為區(qū)域 ，則 ? 2 2 2 1 x y z + + ≤2 2 22 2 2 ( x y z dv a b c ? + + ∫∫∫ ) = . 9．若可微函數(shù) 對任意 滿足 ( , ) f x y , , x y t 2

7、 ( , ) ( , ) f tx ty t f x y = ， 0(1, 2,2) P ? 是曲面 上的一點，且 ，則曲面在 處的切平面方程為 ( , ) z f x y =(1, 2) 4 x f ′ ? = 0 P . 10．設(shè) 為正整數(shù)， 是(1 中 1 m ≥ n a )n m x + + n x 的系數(shù)，則01n n a∞= ∑ = . 二、設(shè) 在 上具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ( ) f x [0

8、,1] (1 ) (0) (1) (0) 0 f f f f ′ ′ = = = = ，證明：存在 (0,1) ξ ∈ ，使得( ) ( ) f f ξ ξ ′′ = . 三、設(shè)40 tan , 1 n n a xdx nπ= ≥ ∫ ， （1）證明數(shù)列{ } n a 收斂； （2）證明 2 1 , 1 n n a a n n ? + = > 2 ?； （3）證明 1 12( 1) 2( 1) n a n n < <