大學生數(shù)學競賽(非數(shù))試題及答案

1、1大學生數(shù)學競賽（非數(shù)學類）試卷及標準答案考試形式：閉卷考試時間：120分鐘滿分：100分.題號一二三四五六七八總分滿分205101510101515100得分一、填空（每小題5分，共20分）.(1)計算=.)cos1(cos1lim0xxxx????(2)設在連續(xù)，且存在，則=.()fx2x?2()3lim2xfxx???(2)f(3)若，則.txxxttf2)11(lim)(??????)(tf(4)已知的一個原函數(shù)為，則=.()f

2、x2lnx()xfxdx??（1）.(2)3.(3).(4).21tet2)12(?Cxx??2lnln2二、（5分）計算，其中dxdyxyD???2.1010????yxD，：解：=2分dxdyxyD???2dxdyyxxyD)(21:2????????22:2)(xyDdxdyxy=4分dyyxdxx)(20210???dyxydxx)(12102???=5分.3011姓名：身份證號：所在院校：年級：專業(yè)：線封密注意：1.所有答題都

3、須寫在此試卷紙密封線右邊，寫在其它紙上一律無效.2.密封線左邊請勿答題，密封線外不得有姓名及相關標記.得分評閱人得分評閱人3五、（10分）求微分方程滿0????xeyyx足條件的特解.eyx??1解：原方程可化為2分xeyxyx???1這是一階線性非齊次方程，代入公式得4分?????????????Cdxexeeydxxxdxx11=5分??????????Cdxexeexxxlnln=6分????Cdxexx1=.7分)(1Cexx?

4、所以原方程的通解是.8分)(1Cexyx??再由條件，有，即，9分eyx??1Cee??0?C因此，所求的特解是.10分.xeyx?六（10分）、若函數(shù)在內具有二階導()fx()ab數(shù)，且，其中123()()()fxfxfx??，證明：在內至少有一點，使。123axxxb????13()xx?()0f???證：由于在內具有二階導數(shù)，所以在上連續(xù)，)(xf)(ba)(xf][21xx在內可導，再根據(jù)題意，)(21xx)()(21xfxf?