高中數(shù)學(xué)放縮法公式

1、學(xué)習(xí)必備 歡迎下載“放縮法 放縮法”證明不等式的基本策略 證明不等式的基本策略1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)） 、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）例 1、已知 求證： * 2 1( ). nn a n N ? ? ? * 1 22 3 11 ... ( ). 2 3nna a a n n N a a a ?? ? ? ? ? ?證明： 1 112 1 1 1 1 1 1 1 1 . , 1,2,..., , 2 1 2 2

2、(2 1) 2 3.2 2 2 2 3 2kkk k k k kka k n a ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 222 3 11 1 1 1 1 1 1 ... ( ... ) (1 ) , 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3nn nna a a n n na a a ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?* 1 22 3 11 ... ( ). 2 3 2nna a a n n

3、 n N a a a ?? ? ? ? ? ? ? ?若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式 的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。本題在放縮時(shí)就舍去了 ，從而是 2 2 k ?使和式得到化簡(jiǎn).2、先放縮再求和（或先求和再放縮） 、先放縮再求和（或先求和再放縮）例 2、函數(shù) f（x）= ，求證：f（1）+f（2）+…+f（n

4、）>n+ . xx4 14?) ( 2121 *1 N n n ? ? ?證明：由 f(n)= =1- nn4 14?1 1 1 1 4 2 2 n n ? ? ? ?得 f（1）+f（2）+…+f（n）> n 2 21 12 21 12 21 1 2 1 ?? ? ??? ??? ?. ) ( 2121 )214121 1 ( 41 *1 1 N n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?此題

5、不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和. 若分子, 分母如果同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。3、逐項(xiàng)放大或縮小 、逐項(xiàng)放大或縮小學(xué)習(xí)必備 歡迎下載解析 解析:因?yàn)?因?yàn)? ?? ? ??? ? ? ????? 1 211 2

6、1 21 44411 1222 n n n n n,所以 所以 3532 1 1 211 215131 2 1 112 ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? n n knk?7、均值不等式放縮 、均值不等式放縮例 7.設(shè) . ) 1 ( 3 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? n n Sn ? 求證 求證. 2) 1 (2) 1 ( 2 ? ? ? ? n S n nn解析 解析: 此數(shù)列的通項(xiàng)為 此數(shù)

7、列的通項(xiàng)為 . , , 2 , 1 , ) 1 ( n k k k ak ? ? ? ?2121 ) 1 ( ? ? ? ? ? ? ? k k k k k k ? ，) 21 (1 1 ? ?? ?? ? ? ?nknnkk S k ，即. 2) 1 (2 2) 1 (2) 1 ( 2 ? ? ? ? ? ? ? n n n n S n nn注： 注：①應(yīng)注意把握放縮的 應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式 ：上

8、述不等式右邊放縮用的是均值不等式 2b a ab ? ? ，若放成 ，若放成1 ) 1 ( ? ? ? k k k 則得 則得 2) 1 (2) 3 )( 1 ( ) 1 (21? ? ? ? ? ? ? ??n n n k Snkn ，就放過(guò) ，就放過(guò)“度”了！ 了！②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里na ana a a aa an n n nnn2 2 1

9、 1111 1? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ??其中， 其中， 3 , 2 ? n 等的各式及其變式公式均可供選用。 等的各式及其變式公式均可供選用。8、二項(xiàng)放縮 、二項(xiàng)放縮n n n nn n C C C ? ? ? ? ? ? ? 1 0 ) 1 1 ( 2 , 1 2 1 0 ? ? ? ? n C C n nn,22 222 1 0 ? ? ? ? ? ? n n C C C n n nn) 2 )( 1 ( 2 ?