《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課后習題答案

1、1概率論，數(shù)理統(tǒng)計習題詳解 概率論，數(shù)理統(tǒng)計習題詳解習題 習題 1.1 解答 解答1. 將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件分別表示“第一次出現(xiàn)正面”， C B A , ,“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”。試寫出樣本空間及事件 中的 C B A , ,樣本點。解： 解： (正，正 正，正)，（正，反）， ，（正，反）， ? ? ?（反，正），（反，反） （反，正），（反，反） ?(正，正 正，正)，（正，反） ，（正，反） ； ? ?

2、 A ?（正，正），（反，反） （正，正），（反，反） ? ? B ?(正，正 正，正)，（正，反），（反， ，（正，反），（反， ? ? C正） 正） ?2. 在擲兩顆骰子的試驗中，事件分別表示“點數(shù)之和為偶 D C B A , , ,數(shù)”，“點數(shù)之和小于 5”，“點數(shù)相 等”，“至少有一顆骰子的點數(shù)為 3”。試 寫出樣本空間及事件D C B A BC C A B A AB ? ? ? ? , , , ,中的樣本點。解： 解：? ?

3、) 6 , 6 ( , ), 2 , 6 ( ), 1 , 6 ( , ), 6 , 2 ( , ), 2 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 6 , 1 ( , ), 2 , 1 ( ), 1 , 1 ( ? ? ? ? ? ?；； ? ? ) 1 , 3 ( ), 2 , 2 ( ), 3 , 1 ( ), 1 , 1 ( ? AB? ? ) 1 , 2 ( ), 2 , 1 ( ), 6 , 6 ( ), 4 , 6 ( ),

4、 2 , 6 ( , ), 5 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 1 , 1 ( ? ? ? B A；； ； ? ? C A ? ? ) 2 , 2 ( ), 1 , 1 ( ? BC? ? ) 4 , 6 ( ), 2 , 6 ( ), 1 , 5 ( ), 6 , 4 ( ), 2 , 4 ( ), 6 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 5 , 1 ( ? ? ? ? D C B A3. 以 分別表示某城市居民訂閱日 C

5、 B A , ,報、晚報和體育報。試用 表示以下 C B A , ,事件：（1）只訂閱日報； （2）只訂日 報和晚報；（3）只訂一種報； （4）正好訂 兩種報；（5）至少訂閱一種報； （6）不訂 閱任何報；（7）至多訂閱一種報； （8）三種 報紙都訂閱；（9）三種報紙不全訂閱。解：（ 解：（1） ； （2） ； C B A C AB（3）； C B A C B A C B

6、A ? ?（4） ; BC A C B A C AB ? ?（5） ； C B A ? ?（6） ； （7） C B A或 C B A C B A C B A C B A ? ? ?C B C A B A ? ?（8） ； （9） ABC C B A ? ?4. 甲、乙、丙三人各射擊一次，事件分別表示甲、乙、丙射中。試 3 2 1 , , A A A說明下列事件所表示的結果： , 2 A, , , , 3 2 A A ? 2

7、1A A 2 1 A A ? 3 2 1 A A A. 3 1 3 2 2 1 A A A A A A ? ?解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有兩人擊中。5. 設事件 滿足 ，試把 C B A , , ? ? ABC下列事件表示為一些互不相容的事件的和：， ， . C B A ? ? C AB ? AC B ?解： 解：如圖：BC A

8、 C BC AB A BBC A C B A C AB AC BC C AB C ABC B A C B A BC A ABC C AB C B A C B A C B A? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?;;6. 若事件 滿足 C B A , , C B C A ? ? ?，試問 是否成立？舉例說明。 B A ?解： 解：不一定成立。例如： ， ? ? 5 , 4 , 3 ? A， ， ? ? 3

9、? B ? ? 5 , 4 ? C那么， ，但 。 C B C A ? ? ? B A ?7. 對于事件 ，試問 C B A , ,是否成立？舉例 C B A C B A ? ? ? ? ? ) ( ) (說明。解： 解：不一定成立。 例如： ， ? ? 5 , 4 , 3 ? A， ， ? ? 6 , 5 , 4 ? B ? ? 7 , 6 ? C那么 ，但是 ? ? 3 ) ( ? ? ? C B A。 ? ? 7 , 6 , 3

10、) ( ? ? ? C B A8. 設 ，2 1 ) ( ? B P ，試就以下三 3 1 ) ( ? A P種情況分別求 ： ) ( A B P（1） ， （2） ， ? ? AB B A ?（3） .8 1 ) ( ? AB P解： 解：（1）；2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? AB P B P AB B P A B P（2）6 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? A

11、P B P A B P A B P； （3）。838121 ) ( ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? AB P B P AB B P A B P9. 已知 ，4 1 ) ( ) ( ) ( ? ? ? C P B P A P，16 1 ) ( ) ( ? ? BC P AC P 0 ) ( ? AB P求事件 全不發(fā)生的概率。 C B A , ,解： 解： ? ? ) ( 1 ) ( C B A P C B A P C

12、 B A P ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ABC P BC P AC P AB P C P B P A P ? ? ? ? ? ? ?8 3 0 16 116 1 0 4 14 14 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10. 每個路口有紅、綠、黃三色指示燈，假設各色燈的開閉是等可能的。一個人騎車經(jīng)過三個路口，試求下列事件的概率：“三個都是

13、紅燈”=“全紅”； ? A ? B“全綠”； “全黃”； “無 ? C ? D紅”； “無綠”； “三次顏色 ? E ? F相同”； “顏色全不相同”； ? G ? H“顏色不全相同”。解： 解：；2713 3 31 1 1 ) ( ) ( ) ( ? ? ?? ? ? ? ? C P B P A P；27 83 3 32 2 2 ) ( ) ( ? ? ?? ? ? ? E P D P；9 127 127 127 1 )

14、 ( ? ? ? ? F P；9 23 3 3! 3 ) ( ? ? ? ? G P.9891 1 ) ( 1 ) ( ? ? ? ? ? F P H P11. 設一批產(chǎn)品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，從中任意抽取 3 件（分三種情況：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3次），試求：（1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率；（2） 取出的 3 件中至少有 1 件是

15、次品的概率。解： 解：一次拿 3 件：（1） ； （2） 0588 . 0 3 1001 22 98 ? ? CC C P； 0594 . 0 3 1001 982 22 981 2 ? ? ? CC C C C P每次拿一件，取后放回，拿 3 次：（1） ； （2） 0576 . 0 310098 232? ? ? ? P； 0588 . 010098 1 33? ? ? P每次拿一件，取后不放回，拿 3 次：（1） ； 0588 .

16、 0 3 98 99 10097 98 2 ? ? ? ?? ? ? P（2） 0594 . 0 98 99 10096 97 98 1 ? ? ?? ? ? ? P12. 從 中任意選出 3 個不 9 , , 2 , 1 , 0 ?同的數(shù)字，試求下列事件的概率：C B A C B AC B AABCBC A C ABC B A?ABCC B A3? ? ? ?) 2 ( 2) ( ) ( ) () ( ) ( ) (22121 12

17、2 1 2 2 1 2 1n n n nniinn iiniin n n n nP P P PA P A P A PA A A P A A A P A A A P? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?)] ( ) )( [( ) ( 2 2 2 1 1 n n n n A A A A A A P B P ? ? ? ? ? ? ? ? ?n nninii n i i n inii n iP P P

18、PA P A P A P A PA A P) 2 ( ] 2 [)] ( ) ( ) ( ) ( [) (1211? ? ? ?? ? ?? ??????? ???10. 10 張獎券中含有 4 張中獎的獎券，每人購買 1 張，求（1） 前三人中恰有一人中獎的概率；（2） 第二人中獎的概率。解： 解：令 “第 個人中獎”， ? i A i3 , 2 , 1 ? i(1) ) ( 3 2 1 3 2 1 3 2 1 A A A A A

19、 A A A A P ? ?) ( ) ( ) ( 3 2 1 3 2 1 3 2 1 A A A P A A A P A A A P ? ? ?) | ( ) | ( ) () | ( ) | ( ) ( ) | ( ) | ( ) (2 1 3 1 2 12 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1A A A P A A P A PA A A P A A P A P A A A P A A P A P?? ?21859410684

20、951068596104 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 213 102 61 4 ? ? CC C P（2）) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 1 2 1 1 2 1 2 A A P A P A A P A P A P ? ?529410693104 ? ? ? ? ?11. 在肝癌診斷中，有一種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查出 95%的真實患者，但也有可能將 10%的人誤診。根據(jù)以往的記錄，每 10 000 人

21、中有 4 人患有肝癌，試求：（1）某人經(jīng)此檢驗法診斷患有肝癌的概率；（2）已知某人經(jīng)此檢驗法檢驗患有肝癌，而他確實是肝癌患者的概率。解： 解：令 “被檢驗者患有肝癌”， “用 ? B ? A該檢驗法診斷被檢驗者患有肝癌” 那么，0004 . 0 ) ( , 10 . 0 ) | ( , 95 . 0 ) | ( ? ? ? B P B A P B A P（1）) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( B A P B P B A

22、P B P A P ? ?10034 . 0 1 . 0 9996 . 0 95 . 0 0004 . 0 ? ? ? ? ?（2）) | ( ) ( ) | ( ) () | ( ) ( ) | (B A P B P B A P B PB A P B P A B P??0038 . 0 1 . 0 9996 . 0 95 . 0 0004 . 095 . 0 0004 . 0 ? ? ? ?? ? ?12. 一大批產(chǎn)品的優(yōu)質品率為 3

23、0%，每次任取 1 件，連續(xù)抽取 5 次，計算下列事件的概率：（1）取到的 5 件產(chǎn)品中恰有 2 件是優(yōu)質品；（2） 在取到的 5 件產(chǎn)品中已發(fā)現(xiàn)有 1 件是優(yōu)質品，這 5 件中恰有 2 件是優(yōu)質品。解： 解：令 “5 件中有 件優(yōu)質品”， ? i B i5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ? i（1）3087 . 0 ) 7 . 0 ( ) 3 . 0 ( ) ( 3 2 2 5 2 ? ? ? C B P（2）) () (

24、) | ( ) | (00 20 2512 B PB B P B B P B B Pii ? ?? ?371 . 0) 7 . 0 ( 13087 . 0) ( 1) (502 ??? ? ? ? B PB P13. 每箱產(chǎn)品有 10 件，其次品數(shù)從 0 到2 是等可能的。開箱檢驗時，從中任取 1件，如果檢驗是次品，則認為該箱產(chǎn)品不合格而拒收。假設由于檢驗有誤，1 件正品被誤檢是次品的概率是 2%，1 件次品被誤判是正品的概率是 5%，

25、試計算：（1）抽取的 1 件產(chǎn)品為正品的概率；（2）該箱產(chǎn)品通過驗收的概率。解： 解：令“抽取一件產(chǎn)品為正品” ? A“箱中有 件次品”， ? i A i2 , 1 , 0 ? i“該箱產(chǎn)品通過驗收” ? B（1）9 . 0101031 ) | ( ) ( ) (2020? ? ? ? ? ? ?? ? i ii ii A A P A P A P（2）) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( A B P A P A B P A

26、P B P ? ?887 . 0 05 . 0 1 . 0 98 . 0 9 . 0 ? ? ? ? ?14. 假設一廠家生產(chǎn)的儀器，以概率0.70 可以直接出廠，以概率 0.30 需進一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率 0.80 可以出廠，并以概率 0.20 定為不合格品不能出廠。現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了 臺儀器（假設各臺儀器的生 ) 2 ( ? n n產(chǎn)過程相互獨立），求：（1）全部能出廠的概率；（2）其中恰有 2 件不能出廠的概率；（3）其中至少有

27、2 件不能出廠的概率。解： 解：令“儀器需進一步調(diào)試” ； ? A“儀器能出廠” ? B“儀器能直接出廠” ； ? A“儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠” ? AB顯然 ， AB A B ? ?那么 8 . 0 ) | ( , 3 . 0 ) ( ? ? A B P A P24 . 0 8 . 0 3 . 0 ) | ( ) ) ( ? ? ? ? A B P PA AB P所以 94 . 0 24 . 0 7 . 0 ) ( ) ( ) ( ? ?

28、 ? ? ? AB P A P B P令 “ 件中恰有 件儀器能出 ? i B n i廠”， n i , , 1 , 0 ? ?（1） nn B P ) 94 . 0 ( ) ( ?（2）2 2 2 2 2 22 ) 06 . 0 ( ) 94 . 0 ( ) 06 . 0 ( ) 94 . 0 ( ) (? ? ?? ? ?nnn nn n C C B P（3）n nn n nnkk C B P B P B P ) 94 . 0 (

29、) 94 . 0 ( 06 . 0 1 ) ( ) ( 1 ) (1 1120? ? ? ? ? ????? ?15. 進行一系列獨立試驗，每次試驗成功的 概率均為 ，試求以下事件 p的概率：（1）直到第 次才成功； r（2）第 次成功之前恰失敗 次； r k（3）在 次中取得 次成 n ) 1 ( n r r ? ?功；（4）直到第 次才取得 次 n ) 1 ( n r r ? ?成功。解： 解：（1） 1 ) 1 ( ? ? ? r

30、 p p P（2） k r rk r p p C P ) 1 ( 11 ? ? ?? ?（3） r n r r n p p C P ? ? ? ) 1 (（4） r n r r n p p C P ? ? ? ? ? ) 1 ( 1 116. 對飛機進行 3 次獨立射擊，第一次射擊命中率為 0.4，第二次為 0.5，第三次為0.7. 擊中飛機一次而飛機被擊落的概率為0.2，擊中飛機二次而飛機被擊落的概率為0.6，若被擊中三次，則飛機必被