最新導數100題經典大題匯編

1、高三《函數與導數解答題》 高三《函數與導數解答題》1. 已知 2 ( ) ln , ( ) 3. f x x x g x x ax ? ? ? ? ?（1）求函數 f(x)的最小值；（2）對一切 恒成立，求實數 的取值范圍； (0, ),2 ( ) ( ) x f x g x ? ?? ≥ a解：（1） '( )=ln 1 f x x ?由 得 '( ) 0 f x ? 1 x e ?當 單調遞減； ' 1 (0

2、, ), ( ) 0, ( ) x f x f x e ? ? 時當 單調遞增； ' 1 ( + ), ( ) 0, ( ) x f x f x e ? ? ? ，時min1 1 ( ) ( ) f x f e e ? ? ?（2） 2 3 2 ln 3, 2ln x x x ax a x x x ? ? ? ? ? ? ? 則設 '23 ( 3)( 1) ( ) 2ln ( 0), ( ) x x h x x x x

3、x x x? ? ? ? ? ? ? 則h① 單調遞減， ② 單調遞增， (0,1), ( ) 0, ( ) x h x h x ? ? ? (1, ), ( ) 0, ( ) x h x h x ? ? ?? ?所以 ，對一切 恒成立， min ( ) (1) 4 h x h ? ? (0, ),2 ( ) ( ) x f x g x ? ?? ?所以 min ( ) 4 a h x ? ?2. 已知函數 ， ，且 ， 在 )

4、 ( ln 2 ) ( ), ( ) ( R b x xb x g R a ax x f ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( x g x f x G ? ? (1) 0 G ? ( ) G x的切線斜率為 。 1 x ? 0（1）求 ； , a b（2）設 求證： / 1 ( ) 2, n a G n n ? ? ?1 21 1 1 1118 n a a a ? ? ? ? ?解：（1） ，由得： ( ) 2ln ( 0) b

5、G x ax x x x ? ? ? ? (1) 0 G ? 0 a b ? ?又 ，則…………4 分 /22 ( ) b G x a x x ? ? ? ? /(1) 0 G ? ? 2 a b ? ? 1, 1 a b ? ? ?（2） ，……5 分 /2 1 2 ( ) 1 ( 0) G x x x x ? ? ? ? / 1 ( ) 2, n a G n n ? ? ? ? 2 1 n a n n ? ? ? ?，易證： 時，

6、； 時 ； 21 11 n a n n ? ? ? ? 1 n ?11 1118 a ? 2 n ?1 21 1 1118 a a ? ?時， 3 n ? 2 21 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 ( 2)( 1) 3 2 1 n a n n n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 3 4 2 5 3 6 2 1 n a a a

7、 n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 11 1 1 1 11 ( ) 3 6 1 1 18 n n n ? ? ? ? ? ? ?3. 已知函數 ) 0 ( 3 ln ) ( ? ? ? ? ? a R a ax x a x f 且 ．由于 , 只需討論函數 的符號: 0 21 ? ?x e 1 2 ) ( 2 ? ? ? ? ? a ax ax x g當 a = 0 時, ，即

8、，函數 在 R 上是減函數； ……4 分 0 1 ) ( ? ? ? x g 0 ) ( ? ? x f ) (x f當 a>0 時, 由于 ，可知 ，函數 在 R 上是減函 0 4 ) ( 4 4 2 2 ? ? ? ? ? ? a a a a ? 0 ) ( , 0 ) ( ? ? ? x f x g 上 ) (x f數；

9、 ……6 分當 a<0 時, 解 得 ，且 ． 0 ) ( ? x g aa x ? ? ?1 aaaa ? ? ? ? ? 1 1在區(qū)間 和區(qū)間 上， ，函數 是增函數；在區(qū)間 ? ???? ??? ? ? ? ? aa 1 , ? ???? ????? ? ? , 1 aa 0 ) ( , 0 ) ( ? ? ? x f x g 上 ) (x f上， ，函數 是減函數 ? ???? ??? ? ? ? ?

10、aaaa 1 , 1 0 ) ( , 0 ) ( ? ? ? x f x g 上 ) (x f綜上可知：當 a≥0 時，函數 在 R 上是減函數；當 a<0 時, 函數 在區(qū)間 上是 ) (x f ) (x f ? ???? ??? ? ? ? ? aa 1 ,增函數；在區(qū)間 上是減函數；在區(qū)間 上是增函數． ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? aaaa 1 , 1 ? ???? ????? ? ? , 1 aa（Ⅱ） 當

11、 時， , 0 1 ? ? ? a 2 1 , 1 1 ? ? ? ? ? ? aaaa所以, 函數 在區(qū)間[1，2]上是減函數，其最小值是 ． ) (x f 2 21 5 ) 2 (ea f ? ?5. 已知函數 ． 1 4341 ln ) ( ? ? ? ? x x x x f（Ⅰ）求函數 的單調區(qū)間； ) (x f（Ⅱ）設 ，若對任意 ， ，不等式恒成立， 4 2 ) ( 2 ? ? ? ? bx x x g ) 2 ,

12、 0 ( 1 ? x ? ? 2 , 1 2 ? x ) ( ) ( 2 1 x g x f ?求實數 的取值范圍． b（II）若對任意 ， ，不等式 恒成立， ) 2 , 0 ( 1 ? x ? ? 2 , 1 2 ? x ) ( ) ( 2 1 x g x f ?問題等價于 ， ．．．．．．．．．5 分 max min ) ( ) ( x g x f ?由（I）可知，在 上， 是函數極小值點，這

13、個極小值是唯一的極值點， (0 , 2) 1 x ?故也是最小值點，所以 min1 ( ) (1) 2 f x f ? ? ?； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分? ?2 ( ) 2 4 , 1, 2 g x x bx x ? ? ? ? ?當 時， ； 1 b ? max ( ) (1) 2 5 g x g b ? ? ?當 時， ； 1 2 b ? ? 2max ( ) ( ) 4 g

14、 x g b b ? ? ?當 時， ； 2 b ? max ( ) (2) 4 8 g x g b ? ? ?問題等價于或或11 2 5 2bb? ? ? ?? ? ? ? ?21 21 4 2bb? ? ? ? ?? ? ? ? ?21 4 8 2bb? ? ? ?? ? ? ? ?解得或或 1 b ? 14 1 2 b ? ? b ??即 ，所以實數 的取值范圍是142 b ? b 14 , 2? ? ?? ?