含有非局部項(xiàng)橢圓型方程變號(hào)解的存在性及其漸近行為.pdf

1、本文主要研究含有非局部項(xiàng)橢圓方程變號(hào)解的存在性及其漸近行為，其中包括Kirchhoff型方程，非線性Schr(o)dinger-Poisson系統(tǒng)以及分?jǐn)?shù)次Laplacian橢圓方程。本研究分為五個(gè)部分：
　　第一章，概述本文所研究問(wèn)題的背景及國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，并簡(jiǎn)要介紹本文的主要工作及相關(guān)的預(yù)備知識(shí)和一些記號(hào)。
　　第二章，研究下列非線性Kirchhoff方程{-(a+b∫R3|▽u|2dx）△u+ V(|x|)u=f(|x

2、|,u),x∈R3,u∈H1r(R3),(E1)其中位勢(shì)函數(shù)V:R3→R是光滑函數(shù)，a，b＞0是常數(shù).由于方程中含有非局部項(xiàng)∫RN|▽u|2dx△u，方程對(duì)應(yīng)的變分泛函的性質(zhì)就完全不同于b=0的情形.在適當(dāng)?shù)臉?gòu)造條件下，我們證明，對(duì)于任意正整數(shù)k≥0，上述問(wèn)題存在一個(gè)恰好變號(hào)k次的變號(hào)解ubk.進(jìn)一步地，我們證明ubk的能量關(guān)于k嚴(yán)格單調(diào)遞增，并且對(duì)于任意的序列{bn}→0+(n→+∞），則存在一個(gè)子列{bns}使得ubnsk在H1(R

3、3)收斂于ωk當(dāng)s→∞，其中ωk恰好也變號(hào)k次并且是下列方程的解-a△u+V(|x|)u=f(|x|，u)，x∈R3，u∈H1（R3）。
　　第三章，我們研究下列有界區(qū)域上的非線性Kirchhoff型問(wèn)題{-(a+b∫Ω|▽u|2dx）△u=∫（u），x∈Ω，u∈H10(Ω),（E2）極小能量變號(hào)解的存在性，其中a，b＞0.Ω是RN中的有光滑邊界aΩ的有界區(qū)域.結(jié)合約束極小方法和數(shù)量形變引理，我們證明這個(gè)問(wèn)題存在一個(gè)極小能量變號(hào)解

4、ub.更進(jìn)一步地，我們證明ub的能量嚴(yán)格大于二倍基態(tài)解能量.最后，我們將b視為參數(shù)并且給出了當(dāng)b↘0時(shí)，ub的收斂性質(zhì)。
　　第四章，研究下列Schr(o)dinger-Poisson系統(tǒng)變號(hào)解的存在性及其漸近行為{-△u+V(x)u+λφu=f(u)， x∈R3，-△φ=u2， x∈R3，(E3)其中V(x)是光滑函數(shù)，λ是非負(fù)參數(shù).因?yàn)榉匠讨猩婕胺蔷植宽?xiàng)λφu(x）u，對(duì)應(yīng)的變分泛函與λ=0時(shí)具有完全不同的性質(zhì).結(jié)合約束極小方

5、法和數(shù)量形變引理，我們證明這個(gè)問(wèn)題存在一個(gè)變號(hào)解uλ.更進(jìn)一步地，我們證明uλ的能量嚴(yán)格大于二倍基態(tài)解能量，并且對(duì)于任意{λn}→0+(n→∞）的序列，存在子列{λnk}，使得uλnk在H1(R3)中強(qiáng)收斂于u0當(dāng)k→∞時(shí)，這里u0是下列方程的變號(hào)解-△u+ V(x)u=f(u)，x∈R3。
　　第五章，研究下列分?jǐn)?shù)次Laplacian方程{-(△)su=f(x，u），x∈Ω，u=0， x∈RN\Ω(E4)變號(hào)解的存在性，其中s∈