若干計算機試驗設計的構造與分析.pdf

1、試驗設計是統(tǒng)計學的重要分支之一，它在統(tǒng)計學的課程、研究和應用中扮演著關鍵角色。試驗設計不僅擁有完整的理論體系，它在我們?nèi)粘Ｉ顚嵺`中也有著廣泛的應用。試驗有助于我們了解某些過程或系統(tǒng)的機制，掌握更多關于產(chǎn)品的信息，以進一步提高生產(chǎn)效率。試驗包括兩個方面：設計和分析。試驗的設計藝術和分析技巧有著緊密聯(lián)系。前者的目的是希望通過精心設計試驗以提高后者的效率和精度。試驗的分析指的就是統(tǒng)計推斷，它包括建模、變量選擇、估計、預測、優(yōu)化等等。一個好的

2、設計應該利用盡可能少的資源去獲得關于研究對象的盡可能多的有用信息。
　　試驗又可以分為兩大類：實體試驗和計算機試驗。實體試驗是指那些在實驗室、工廠或田問完成的試驗。試驗設計的發(fā)展可以追溯到二十世紀三十年代，統(tǒng)計學家R．A．Fisher在英國的一問農(nóng)場試驗站開始了他的開創(chuàng)性工作。實體試驗的特點是試驗結果會受到系統(tǒng)誤差的影響。系統(tǒng)誤差客觀存在且不可控，所以在相同的因子水平設置下去多次重復試驗會得到不同的結果。隨機化、分區(qū)組和重復是實體

3、試驗的三大基本原則，它們可以降低系統(tǒng)誤差的影響。計算機試驗的興起得益于近幾十年來計算機技術的迅猛發(fā)展。與實體試驗相比，計算機試驗通過在計算機上運行代碼來完成。因此，計算機試驗的輸出結果具有確定性，這也是計算機試驗與實體試驗的最大區(qū)別。實體試驗中的三大基本原則不再適用于計算機試驗。除了輸出具有確定性，試驗代碼的運行也可能會花費大量的時間。計算機試驗的另一特點就是包含的輸入變量數(shù)目眾多-15到20或者更多。計算機試驗的目的就是建立一個擬模型

4、，通過這個擬模型來刻畫輸出變量和輸入變量之間的復雜關系。根據(jù)計算機試驗的特點，我們需要新的設計和分析方法來與之對應。
　　計算機試驗的發(fā)展才剛剛起步，對許多問題的研究還不是很完善。該領域中有許多新的有意義的課題值得研究者們深入研究。本文研究計算機試驗中的一些新課題，包括二階正交分片拉丁超立方體設計的構造和基于近似正交表的拉丁超立方體設計的構造。此外，本文還提出了一類新的設計一半拉丁超立方體設計，并將其應用于計算機試驗的分析中。

5、r>　　拉丁超立方體設計是由McKav等人在1979年提出的。它是計算機試驗中最為常用的一類設計。拉丁超立方體設計可以在任意一維上達到最大分層，這一特性使得它可以很好地適應計算機試驗輸出結果具有確定性這一特點。拉丁超立方體設計早期的構造都是各列獨立構造，這就會使得因子之間可能會具有較強的相關性。而較強相關性的出現(xiàn)會導致嚴重的共線性，且不利于顯著因子的識別，使后續(xù)的數(shù)據(jù)分析變得復雜。在回歸分析中，如果變量之間相互正交，那么就可以保證系數(shù)的

6、估計之間是不相關的。如果設計具有正交性，那么主效應估計之間是不相關的，這就有助于識別重要因子。進一步，如果設計具有二階正交性，那么除了主效應估計之間不相關，所有主效應估計與二次效應估計、主效應估計與二階交互效應估計之間都是不相關的。這就可以排除二次效應和二階交互效應對主效應估計的影響。因此，構造具有正交性或二階正交性的拉丁超立方體設計是計算機試驗中的一個熱門課題。
　　計算機試驗可以看成是一個黑盒子，由于我們對這個黑盒子中的信息了

7、解得非常有限，一個很自然的想法是盡可能詳盡地對試驗區(qū)域進行探索。帶有空間填充性的設計可以將設計點盡量均勻地布置在設計區(qū)域上。如何使拉丁超立方體設計具有空間填充性是一個有趣的問題。正交表、近似正交表和強正交表是構造帶有空間填充性的拉丁超立方體設計的基石。基于此構造出的設計在較低維上會具有分層性質(zhì)。由于試驗次數(shù)相對有限，較高維上的分層性質(zhì)還是難以達到的。本文給出了一種利用正交表構造近似正交表，進而構造帶有低維分層性等優(yōu)良性質(zhì)的拉丁超立方體設

8、計的方法。另外，基于某些準則優(yōu)化得來的設計也可能具有空間填充性。距離準則，例如最大最小距離和最小最大距離(Johnson，Moore and Ylvisaker，1990)，還有均勻性的一些準則，例如中心化L2偏差和可卷L2偏差(Hickernell，1998a，1998b)，都可以幫助我們找到好的設計。
　　在實際中，計算機試驗可能既包含定量因子又包含定性因子。Qian(2012)提出的分片拉丁超立方體設計適用于這類試驗，該設計

9、的每一個分片可以對應于定性因子的一個水平組合。分片拉丁超立方體設計不僅適用于帶有定性定量因子的計算機試驗，也可以用于多精度計算機試驗、模型校正、交叉驗證、多水平函數(shù)估計、隨機優(yōu)化、數(shù)據(jù)匯集等等。如何使分片拉丁超立方體設計具有正交性、近似正交性和分層性質(zhì)是值得研究的問題。本文給出了一種構造二階正交分片拉丁超立方體設計的方法，相比于現(xiàn)有的設計，本文構造的設計在參數(shù)上更為靈活，性質(zhì)更加優(yōu)良。
　　對于計算機試驗的分析，預測精度是一個很重

10、要的關注點。從試驗設計的角度看，一個精心安排的設計能夠為提高預測精度提供幫助。此外，由于系統(tǒng)的表現(xiàn)在變量的臨界值附近可能會變得不穩(wěn)定，在試驗區(qū)域邊界附近進行預測要比在中心點附近進行預測難得多。如何通過安排設計使得在整個試驗區(qū)域上都有較優(yōu)的預測精度是一個值得關注的問題。關于這個問題，本文給出了一些初步的研究和探索。
　　下面簡要介紹一下本文各章的基本內(nèi)容。
　　第一章是引言，簡要介紹了一些背景知識。
　　第二章給出了一種

11、構造二階正交分片拉丁超立方體設計的方法。分片拉丁超立方體設計可以應用于計算機試驗的多種情形。正交性和二階正交性對于識別重要因子非常關鍵。除了正交性，空間填充性對于拉丁超立方體設計來說也是一種優(yōu)良的性質(zhì)。本章給出了二階正交分片拉丁超立方體設計的構造方法，并對構造出的設計進行優(yōu)化，使其具有良好的空間填充性。進一步，本章將構造方法推廣到了構造近似正交分片拉丁超立方體設計。對于本章給出的設計，其分片數(shù)、列數(shù)和因子水平設置相比于現(xiàn)有同類設計都更為

12、靈活。
　　第三章提出了基于近似正交表構造拉丁超立方體設計的方法。低維分層性對于拉丁超立方體設計來說是一個極好的性質(zhì)。為了滿足實際需要，計算機試驗的設計需要可以容納數(shù)量較多的因子。本章構造了一類拉丁超立方體設計，這類設計的列可以分成若干個組，來自不同組的任意兩列都具有分層性質(zhì)，同組的列之間具有列正交性或空間填充性。此外，我們將這種構造方法推廣到了構造具有上述性質(zhì)的分片拉丁超立方體設計。與現(xiàn)有設計相比較，本章給出的設計可以容納更多的

13、因子，并可以對試驗區(qū)域進行更為詳盡的探索，且具有優(yōu)良的性質(zhì)。
　　第四章構造了一類新的設計一半拉丁超立方體設計，并展示了其在計算機試驗分析中的優(yōu)越性。從試驗設計的角度看，設計會對預測精度產(chǎn)生影響。本章提出了一類新的設計一半拉丁超立方體設計，這類設計包含一個內(nèi)嵌的拉丁超立方體設計，并在試驗區(qū)域的邊界附近額外添加了一些設計點。因此，該類設計不僅保持了拉丁超立方體設計的空間填充性，還為在試驗區(qū)域邊界進行預測提供了幫助。本章通過幾個模擬例