二元樣條函數(shù)方法求數(shù)據(jù)插值擬合問(wèn)題.pdf

1、樣條函數(shù)被認(rèn)為是在數(shù)值逼近,計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì),圖像分析和數(shù)值分析等方面的一種高效率的工具。隨著計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展,樣條函數(shù)以其便于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、計(jì)算穩(wěn)定、局部支集以及便于交互控制等優(yōu)點(diǎn),成為各類工程計(jì)算、計(jì)算機(jī)輔助制造/設(shè)計(jì)和幾何建模等大型軟件的重要數(shù)學(xué)工具之一。 早在60年代一元樣條的理論就開始了快速的發(fā)展,許多論文和書籍都紛紛發(fā)表,這種發(fā)展一直持續(xù)到80年代并到達(dá)了頂峰?，F(xiàn)在我們所熟悉的理論都是在那個(gè)時(shí)候建立的([10]和[31]

2、)。一元樣條現(xiàn)在已經(jīng)成為各種應(yīng)用領(lǐng)域重要的工具,并且是現(xiàn)在數(shù)值分析中重要的一個(gè)方向。如果說(shuō)60到80年代是一元樣條的時(shí)代的話,現(xiàn)在就是多元樣條的時(shí)代。早在80年代,就有一些關(guān)于二元、三元分片多項(xiàng)式作為有限元的結(jié)果,但那時(shí)人們并沒(méi)有重視多元的樣條。現(xiàn)在關(guān)于多元樣條的論文多的舉不勝舉。 本論文主要討論的是多元樣條(特別是二元樣條)函數(shù)方法在數(shù)據(jù)插值擬合中的應(yīng)用。這里我們所說(shuō)的多元樣條是指由定義在一些三角剖分上的分片多項(xiàng)式的集合,而這

3、些分片多項(xiàng)式之間滿足一定的連續(xù)條件,從而整體上達(dá)到一定的光滑性。多元樣條和一元樣條一樣也具有許多優(yōu)秀的性質(zhì),這些性質(zhì)使它成為非常重要的工具。比如多元樣條在計(jì)算函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值的時(shí)候具有高效、穩(wěn)定的算法等。 本論文分為四章。第一章首先介紹樣條函數(shù)的B-形式,接著推出在B-形式下的一些基本算法。比如de Casteljau求值算法,求導(dǎo)、求積以及求內(nèi)積算法等。這些算法在構(gòu)造矩陣方程時(shí)起到了重要的作用。然后介紹了分片多項(xiàng)式的拼接條件以及

4、如何建立整個(gè)樣條空間,并簡(jiǎn)單的分析了一下常用的各種三角剖分。最后介紹了一個(gè)用于矩陣計(jì)算的迭代算法。 第二章主要討論了散亂數(shù)據(jù)Hermite插值問(wèn)題。我們首先從如何構(gòu)造滿足條件的樣條函數(shù)說(shuō)起,從文章[26]和[29]中得到啟發(fā),提出了新的能量函數(shù),來(lái)滿足數(shù)據(jù)Hermite插值的要求。并討論了它的存在性和唯一性,以及它的逼近結(jié)果。從結(jié)果上來(lái)看,如果散亂數(shù)據(jù)來(lái)自一個(gè)光滑的函數(shù),那么我們做出的樣條函數(shù)能夠充分的逼近于它。最后我們構(gòu)造了一

5、些數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明它的逼近結(jié)果,同時(shí)也采集了中國(guó)大陸的各個(gè)地方的風(fēng)速大小作為數(shù)據(jù)進(jìn)行插值實(shí)驗(yàn),并構(gòu)造了中國(guó)大陸的風(fēng)速勢(shì)力場(chǎng)。最后兩章主要討論了散亂數(shù)據(jù)擬合的問(wèn)題。當(dāng)散亂數(shù)據(jù)充分多或者相對(duì)較少的時(shí)候,顯然用插值方法已經(jīng)不合適了,我們只能用擬合的方法。其中第三章我們采用的是擴(kuò)展罰函數(shù)方法來(lái)解散亂數(shù)據(jù)相對(duì)較少的擬合問(wèn)題,特別是我們對(duì)曲面的擾度有特別要求的時(shí)候。相比于普通的罰函數(shù)方法[44],我們提出的擴(kuò)展罰函數(shù)法可以處理帶導(dǎo)數(shù)信息的數(shù)據(jù)。因此可