小區(qū)間上的Borwein-choi猜想.pdf

1、設(shè)Q(x)=XTAX是一個(gè)非奇異的二次型，其判別式為△.這里行向量X=(X1，X2….，Xm)∈Zm，其中m≥2；XT為X對(duì)應(yīng)的列向量；A=(Ai,j)1≤i,j≤m是一個(gè)對(duì)稱矩陣，其判別式為△=DetA.我們稱二次型Q(X)正定的，如果其對(duì)應(yīng)的矩陣A是一個(gè)正定矩陣. 給定一個(gè)非負(fù)整數(shù)n，我們考慮如下集合R(n，Q):={x=(X1，X2…，Xm)∈Zm：X≠0，Q(X)=n).并且記r(n，Q)=＃R(n，Q).二次型表示理論

2、中一個(gè)最基本的問(wèn)題，是對(duì)于給定的n和Q，判定R(n，Q)是否為空集.這個(gè)問(wèn)題被許多數(shù)學(xué)家研究過(guò)(參考文獻(xiàn)[2]，[4],[7]，[8]，[27]，[28]).如果集合R(n，Q)非空，我們希望給出其元素個(gè)數(shù)，r(n，Q)的一個(gè)上界.參考文獻(xiàn)[16]研究了四元二次型，給出了這種情況下的r(n，Q)的上界.參考文獻(xiàn)[22]給出了對(duì)應(yīng)三元二次型的結(jié)果。 二次型中，二元二次型是比較特殊的一種，它與虛二次域中理想的算術(shù)性質(zhì)有關(guān).在十九世紀(jì)

3、末期，一般情況下的理論也有了系統(tǒng)性的發(fā)展.其最初的貢獻(xiàn)是由Minkowki，Hasse，Siegd三位數(shù)學(xué)家做出的。Minkowski建立了數(shù)的幾何理論，解決了二次型的等價(jià)性問(wèn)題；他提出用同余的方法研究二次型，使得對(duì)任一個(gè)給定的二次型，我們都可以找到一種有效的算法求其所有解.Hasse對(duì)二次型的工作主要在代數(shù)方面：他提出的局部-整體原則，給出了如何判別解的存在性問(wèn)題.Siegel的工作主要在解析方面，他給出了二次型表示表法個(gè)數(shù)的一個(gè)解析