小區(qū)間上的三次華林-哥德巴赫問題.pdf

1、哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫在與歐拉的通信中提出來的,可以表述為；
　　 (A)每個(gè)≥9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和.
　　 (B)每個(gè)≥6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和.
　　 其中奇數(shù)的哥德巴赫猜想(A)又稱為三素?cái)?shù)定理,這一問題已于1937年被Vinogadov[30]基本解決,他證明了每一個(gè)充分大的奇數(shù)均可以寫成三個(gè)素?cái)?shù)的和.偶數(shù)的哥德巴赫猜想(B)至今仍未解決.
　　 非線性的哥德巴赫問題又稱為華林-

2、哥德巴赫問題,旨在研究正整數(shù)n表為j個(gè)素?cái)?shù)κ次冪之和的可能性,即
　　 這里κ是某個(gè)給定的正數(shù),而j=j(κ)依賴于κ.對于固定的κ,我們希望j盡可能小.在本文中,我們考慮κ=3的情形.
　　 對于三次的華林-哥德巴赫問題,與偶數(shù)的哥德巴赫猜想相對應(yīng)的一個(gè)猜想是說一個(gè)充分大的正數(shù)n如果滿足一些必要的同余條件,那么可以表為四個(gè)素?cái)?shù)的立方和,即
　　 這是一個(gè)比偶數(shù)的哥德巴赫猜想還難的猜想,現(xiàn)在還不能被證明.關(guān)于這個(gè)

3、猜想一直沒有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展,甚至沒有辦法證明例外集的結(jié)果.但是有一些對這個(gè)猜想的逼近,例如Davenport的結(jié)果.Davenport在[3]中的定理斷言幾乎所有的正整數(shù)可以表示成四個(gè)正數(shù)的立方和,這里“幾乎”的意思是說在不超過z的滿足必要條件的正整數(shù)中不能寫成四個(gè)正整數(shù)的立方之和的整數(shù)集合ε(z)滿足ε(z)=о(z).
　　 關(guān)于這個(gè)猜想的直接刻畫,Roth[26]證明了下面的結(jié)果
　　 其中()為可寫成(2)的整數(shù)n

4、的集合.這個(gè)結(jié)果可以看作是對上述猜想的另外一種逼近.在[23]中,Ren證明了
　　 這里э>0是一個(gè)絕對常數(shù).由此我們可以得出這個(gè)猜想對有正密度的正整數(shù)是成立的.此外,計(jì)算出β的一個(gè)可以接受的數(shù)值也是非常有趣的.在Ren的另外一篇文章[24]中,β=1/320可以通過計(jì)算給出.
　　 在第一章,我們考慮了(4)的小區(qū)間問題,得到如下結(jié)果:
　　 定理1.1.令N為一個(gè)大的正數(shù),()如上定義.則存在一個(gè)絕對常數(shù)γ

5、>0使得
　　 這個(gè)結(jié)論表明,對于給定的充分大的N以及定理中給定的Y,在區(qū)間[N.N+Y]上滿足必要條件的正整數(shù)中,使得猜想成立的整數(shù)的集合具有正密度.我們將用圓法和上界篩法證明定理1.1.
　　 關(guān)于前面所述猜想的另一種研究途徑是考慮當(dāng)j≥5時(shí),在不超過N的滿足必要條件的正整數(shù)中不能表為j個(gè)素?cái)?shù)立方和的正整數(shù)的集合｜εj(z)｜有多大.Hua[5]證明了當(dāng)j=9時(shí),ε9(z)是個(gè)有限集.因此有意義的問題是當(dāng)j=5,6,

6、7,8時(shí),｜εj(z)｜有多大.記εj(z)為這樣的整數(shù)集合n∈Aj∩[z/2,z],但是n不能被寫成(1)的形式,這里Aj為一些同余條件,如(2.2)中定義.Hua[5]-[6]中的定理證明幾乎每一個(gè)充分大的滿足必要條件的整數(shù)均可以寫成五個(gè)素?cái)?shù)的立方和.具體說,Hua證明了ε5(z)<0是任意常數(shù).后來許多數(shù)論學(xué)家進(jìn)一步研究了這一問題,其中最新結(jié)果是2005年Kumchev[2]給出的如下結(jié)果:
　

7、　 當(dāng)5≤j≤8時(shí),我們有
　　 這里
　　 我們研究了pi限制在小區(qū)間上取值的情形,即考慮當(dāng)j=5,6,7,8時(shí)如下問題的可解性:
　　 這里δj>0是一個(gè)常數(shù).我們當(dāng)然希望δj盡可能大.在第二章中我們將用圓法證明如下定理.
　　 定理2.1.令j=5,6,7,8,Aj如(2.2)中所定義.對于任意的ε>0,當(dāng)δj分別等于1/45,1/30,1/25,2/45時(shí),方程(5)對所有的N∈Aj∩[z/2,

8、z]有解,但除去至多O(z1-ε)個(gè)例外.
　　 這個(gè)結(jié)果表明不但一些滿足必要同余條件的幾乎所有的整數(shù)是j(j=5,6,7,8)個(gè)素?cái)?shù)的立方之和,而且還證明了這些素?cái)?shù)可以在很小的區(qū)間上取值.
　　 前面我們指出,當(dāng)j=9時(shí),Hua[5]證明每一個(gè)充分大的奇整數(shù)均可以寫成九個(gè)素?cái)?shù)的立方和.Lü和xu[13]證明了當(dāng)δ9=1/198時(shí),每個(gè)充分大的奇整數(shù)都可以寫成(5)的形式.這跟在黎曼猜想下得到的結(jié)果是一樣強(qiáng)的.在定理2.